两道NOIP里的DP题目~

　　拦截导弹    来源：NOIP1999(提高组) 第一题

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入格式

输入数据为两行，

第一行为导弹的数目N(n<=1000)

第二行导弹依次飞来的高度，所有高度值均为不大于30000的正整数。

输出格式

1.输出只有一行是这套系统最多能拦截的导弹数和 2.要拦截所有导弹最少要配备这种导弹拦截系统的套数。两个数据之间用一个空格隔开

样例输入

8
389 207 155 300 299 170 158 65

样例输出

6 2

可以先将这个问题分作两个小问题解决，第一个小问明显是要求出最长非严格下降子序列，因为它要保证每一发炮弹都不能高于前一发的高度

第二个小问则是要你求出最长严格上升子序列，这个结论就不能明显的出啦，因为一开始我也想不出来，也是看了题解才懂。

证明过程：

　　目标首先是要保证所有的目标都要摧毁，既然每个目标都要被摧毁，那么如果这个被摧毁的目标的后面的目标比它搞的话，摧毁这个目标

的导弹系统就不能摧毁它后面的目标了。从而，我们所需要的炮弹系统的高度必定是严格上升的序列~又因为要摧毁所有的目标，所以为最长严格

上升子序列~

ps：这道题的数据目测比较弱，第二问我用非严格上升去做也能ac。。。。。

附上ac的c++代码：

 #include <cstdio>
 #include <iostream>

 using namespace std;
 const int maxn = ;
 int a[maxn],inc[maxn],dece[maxn];
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 int main(){
     int n;
     while(~scanf("%d",&n)){
     int INC = ,DEC = ;
     fill(a,a + maxn,);
     fill(inc,inc + maxn,);
     fill(dece,dece + maxn,);
     for(int i = ;i <= n;++i)
         scanf("%d",&a[i]);
     a[] = INF;//注意 初始化
     for(int i = ;i <= n;++i){
         for(int j = ;j <= i-;++j){
             if(a[i] <= a[j]&&dece[i] < dece[j] + ) //非严格下降子序列
                 dece[i] = dece[j] + ;
         }
         //cout<<dece[i];
         DEC = max(DEC,dece[i]);
     }
     //cout<<endl;
     a[] = -INF;//注意重新初始化
     for(int i = ;i <= n;++i){
         for(int j = ;j <= i-;++j){
             if(a[i] > a[j]&&inc[i] < inc[j] + ) //严格上升子序列
                 inc[i] = inc[j] + ;
         }
         //cout<<inc[i];
         INC = max(INC,inc[i]);
     }
     //cout<<endl;
         printf("%d %d\n",DEC,INC);
     }
     return ;
 }

　　合唱队形        来源：NOIP2004(提高组) 第一题

题目描述

　　N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。

　　合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK， 则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。

　　你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式

输入的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出格式

输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

样例输入

8
186 186 150 200 160 130 197 220

样例输出

4

思路：

设dec[i] 是以a[i] 为结尾的最长严格上升序列，inc[i] 是以a[i]开始的最长严格下降序列，所以 最终答案是 n - max(dec[i] + inc[i] - 1);

dec[i] 和inc[i] 仿照上面那道题 即可，不过注意代码细节有所不同

 #include <cstdio>
 #include <iostream>

 using namespace std;
 const int maxn = ;
 int a[maxn],inc[maxn],dece[maxn];
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 int main(){
     int n;
     while(~scanf("%d",&n)){
     int INC = ,DEC = ;
     fill(a,a + maxn,);
     fill(inc,inc + maxn,);
     fill(dece,dece + maxn,);
     for(int i = ;i <= n;++i)
         scanf("%d",&a[i]);
     a[] = -INF;//注意 初始化
     for(int i = ;i <= n;++i){
         for(int j = ;j <= i-;++j){
             if(a[i] > a[j]&&dece[i] < dece[j] + ) //
                 dece[i] = dece[j] + ;
         }
     }
     a[n+] = -INF;//注意重新初始化
     for(int i = n;i >= ;--i){
         for(int j = n+;j >= i + ;--j){
             if(a[i] > a[j]&&inc[i] < inc[j] + ) //
                 inc[i] = inc[j] + ;
         }
     }
     int ans = ;
     for(int i = ;i <= n;i++){
         ans  = max(ans,dece[i] + inc[i]);
     }
     printf("%d\n",n - ans + );
   }
     return ;
 }