HDU 6470 Count 【矩阵快速幂】（广东工业大学第十四届程序设计竞赛 ）

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6470

Count

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Problem Description

Farmer John有n头奶牛.
某天奶牛想要数一数有多少头奶牛,以一种特殊的方式:
第一头奶牛为1号,第二头奶牛为2号,第三头奶牛之后,假如当前奶牛是第n头,那么他的编号就是2倍的第n-2头奶牛的编号加上第n-1头奶牛的编号再加上自己当前的n的三次方为自己的编号.
现在Farmer John想知道,第n头奶牛的编号是多少,估计答案会很大,你只要输出答案对于123456789取模.

 

Input

第一行输入一个T,表示有T组样例
接下来T行,每行有一个正整数n,表示有n头奶牛 (n>=3)
其中，T=10^4,n<=10^18

 

Output

共T行,每行一个正整数表示所求的答案

 

Sample Input

5

3

6

9

12

15

 

Sample Output

31

700

7486

64651

527023

 

Source

“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛

解题思路：

很裸的一道矩阵快速幂的题，递推式都给出来了。

问题在于如何构造转移矩阵？也就是如何搞定 n 的3次方？

最终的转移矩阵：

AC code：

 #include <bits/stdc++.h>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int MAXN = ;
 const LL MOD = ;
 template<typename T, int N = >
 struct Matrix
 {
     Matrix(int f = ):n(sizeof(data[])/sizeof(data[][])){
         for(int i = ; i < n; i++)
             for(int j = ; j < n; j++)
                 data[i][j] = ;
         if(f)
             for(int i = ; i < n; i++) data[i][i] = T();
     }

     Matrix operator * (const Matrix other) const{
         Matrix<T, N> ret;
         for(int i = ; i < n; i++)
             for(int j = ; j < n; j++)
                 for(int k = ; k < n; k++)
                 ret.data[i][j] = (ret.data[i][j] + data[i][k] * other.data[k][j]%MOD)%MOD;
         return ret;
     }

     Matrix operator + (const Matrix other) const{
         Matrix<T, N> ret;
         for(int i = ; i < n; i++)
             for(int j = ; j < n; j++)
             ret.data[i][j] = (data[i][j] + other[i][j])%MOD;
         return ret;
     }

     Matrix operator % (const LL MOD){
         return *this;
     }

     T data[N][N];
     int n;

 };

 template<typename T>
 T mul(T a, LL n, LL mod)
 {
     T ret();
     for(; n ; n >>= ){
         ret = ret*(n& ? a:T()) %mod;
         a = a*a%mod;
     }
     return ret;
 }

 const LL modulu[MAXN][MAXN] = {
     {, , , , , },
     {, , , , , },
     {, , , , , },
     {, , , , , },
     {, , , , , },
     {, , , , , }
 };

 int main()
 {
     std::ios::sync_with_stdio(false);
     int T;
     cin >> T;
     for(LL n; T--; ){
         cin >> n;
         if(n <= ){
             cout << n << endl;
             continue;
         }
         Matrix<LL, MAXN> a;
         memcpy(a.data, modulu, sizeof(modulu));
         a = mul(a, n-, MOD);
         cout << (a.data[][]* + a.data[][]* + a.data[][]* + a.data[][]* + a.data[][]* + a.data[][]*)%MOD << endl;
     }
     return ;
 }