hdu-2879 hehe---积性函数

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2879

题目大意：

he[n]为小于n且满足x^2 = x (mod n)的个数

hehe[n] = He[1]*……*He[N]

解题思路：

1.证明p是素数时He[p]=2.

x^2=x(mod p)—->p|x(x-1).因为x<p所以p不整除x也不整除x-1.所以成立的情况下是x=1或者x=0.

He[p^k]=2,证明类似上面的

2.证明对于不同的两个素数p和q,He[p*q]=4=He[p]*He[q];

首先x=0和x=1是肯定成立的,

现在由x^2=x(mod p*q)

—>p*q|x(x-1)

假设x=k*p[k<q]

——>p*q|k*p(k*p-1)

——->q|k(k*p-1)

——->q|(k*p-1)  因为k<q  q是素数 所以gcd(k,q)=1

——->k*p+t*q=1

这里就变成了这个方程的解,由扩展欧几里得知,这个方程有解,但是k在[0,q-1]之内的解就一个,所以这里多一个解,同理设x=k*p又有一个解,所以x^2=x(mod p*q)有4个解(x=0 ,x=1 ,x=k*p, x=k*q)

—->He[p*q]=4=He[p]*He[q];

那么He[p1^r1*p2^r2*……*pk^rk]=2^k然后可以进一步算出HeHe只需要算n以内每个素数的倍数的个数.

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn = +;
 int prime[maxn];
 bool is_prime[maxn];
 int sieve(int n)//返回n以内素数的个数
 {
     int p = ;
     for(int i = ; i <= n; i++)is_prime[i] = ;
     is_prime[] = is_prime[] = ;
     for(ll i = ; i <= n; i++)
     {
         if(is_prime[i])
         {
             prime[p++] = i;
             for(ll j = i * i; j <= n; j += i)is_prime[j] = ;//这里涉及i*i,必须使用long long
         }
     }
     return p;
 }
 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
         b /= ;
         a = (a % m) * (a % m) % m;
     }
     ans %= m;
     return ans;
 }
 int main()
 {
     int T;
     cin >> T;
     int tot = sieve(), n, m;
     while(T--)
     {
         cin >> n >> m;
         int cnt = ;
         for(int i = ; i < tot && prime[i] <= n; i++)
         {
             cnt += n / prime[i];
         }
         cout<<pow(, cnt, m)<<endl;
     }
     return ;
 }