「十二省联考 2019」皮配——dp

题目

【题目描述】

#### 题目背景
一年一度的综艺节目《中国好码农》又开始了。本季度，好码农由 Yazid、Zayid、小 R、大 R 四位梦想导师坐镇，他们都将组建自己的梦想战队，并率领队员向梦想发起冲击。

四位导师的**派系**不尽相同，节目组为了营造看点，又将导师分成了不同的**阵营**，与此同时对不同阵营、不同派系都作出了战队总人数限制：

- 四位导师分成两个**阵营**：
- Yazid、小 R 两位导师组成**蓝阵营**，他们两位的战队人数**总和**不得超过 $C_0$。
- Zayid、大 R 两位导师组成**红阵营**，他们两位的战队人数**总和**不得超过 $C_1$。
- 四位导师分成两个**派系**：
- Yazid、Zayid 两位导师属于**鸭派系**，他们两位的战队人数**总和**不得超过 $D_0$。
- 小 R、大 R 两位导师属于 **R 派系**，他们两位的战队人数**总和**不得超过 $D_1$。

#### 题目描述
本季好码农邀请到了全国各路学生精英参赛。他们来自全国 $c$ 个城市的 $n$ 所不同学校（城市的编号从 $1$ 至 $c$，学校的编号从 $1$ 至 $n$）。其中，第 $i$ 所学校所属的城市编号为 $b_i$，且共有 $s_i$ 名选手参赛。

在「题目背景」中提到的各总人数限制之外，本季度《中国好码农》的导师选择阶段有额外规则如下：

- 来自同**城市**的所有选手必须加入相同的**阵营**。
- 来自同**学校**的所有选手必须选择相同的**导师**。

对于导师，大部分学校的学生对导师没有**偏好**。但是有 $k$ 所学校，其中每所学校的学生有且仅有一位他们不喜欢的导师。同一所学校的学生不喜欢的导师相同，他们**不会加入他们不喜欢的导师的战队**。

面对琳琅满目的规则和选手的偏好，作为好码农忠实观众的你想计算出，在所有选手都进行了战队选择后，战队组成共有多少种可能的局面？

- 两种战队组成的局面被认为是不同的，当且仅当在存在一所学校，使得在这两种局面中这所学校的选手加入了不同导师的战队。
- 由于答案可能很大，你只需输出可能局面数对 $998,244,353$ 取模的结果即可。

【输入格式】

从标准输入读入数据。

单个测试点中包含多组数据，输入的第一行包含一个非负整数 $T$ 表示数据组数。接下来依次描述每组数据，对于每组数据：

- 第 $1$ 行 $2$ 个正整数 $n,c$，分别表示学校数目、城市数目。
- 第 $2$ 行 $4$ 个正整数 $C_0,C_1,D_0,D_1$，分别表示题目中所描述的四个限制。
- 接下来 $n$ 行每行 $2$ 个正整数：
- 这部分中第 $i$ 行的两个数依次为 $b_i,s_i$，分别表示第 $i$ 所学校的所属城市以及选手数目。
- 保证 $b_i \leq c$，$s_i \leq \min\{M, 10\}$。其中 $M=\max{\left\{ C_0,C_1,D_0,D_1\right\}}$。
- 接下来 $1$ 行一个非负整数 $k$，表示选手有偏好的学校数目。
- 接下来 $k$ 行，每行 $2$ 个整数 $i,p$，描述编号为 $i$ 的学校选手有偏好：
- 其中，$p$ 为一个 $0$ 至 $3$ 之间的整数，描述该校选手不喜欢的导师：0 代表 Yazid，1 代表小 R，2 代表 Zayid，3 代表大 R。
- 保证 $1\leq i\leq n$，且各行的 $i$ 互不相同。

对于输入的每一行，如果其包含多个数，则用单个空格将它们隔开。

【输出格式】

输出到标准输出。

依次输出每组数据的答案，对于每组数据：

- 一行一个整数，表示可能局面数对 $998,244,353$ 取模的结果。

【样例输入】

2
2 1
3 2 2 2
1 1
1 2
1
1 0
4 2
10 30 20 30
1 6
2 4
1 7
2 4
2
2 3
3 1

【样例输出】

1
22

【样例解释】

对于第 1 组数据：

- 唯一的城市 1 包含共 $3$ 名选手，但红阵营的总人数限制为 $2$，无法容纳这些选手，因此他们被迫只能选择蓝阵营。
- 在此基础上，由于 1 号学校的选手不喜欢 Yazid 老师，因此他们就必须加入 R 派系的小 R 老师麾下。
- 由于 R 派系总人数限制为 $2$，因此小 R 老师战队无法容纳 2 号学校的选手，所以他们只能被迫加入 Yazid 老师战队。
- 综上所述，可能的局面仅有这一种。

对于第 2 组数据：

- 一个显然的事实是，1 号城市的所有选手都无法加入蓝阵营，这是因为 1 号城市的选手总人数超过了蓝阵营的总人数限制，因此他们被迫全部加入红阵营。
- 对于 2 号城市选手加入蓝阵营的情况，稍加计算可得出共有 $15$ 种可能的局面。
- 对于 2 号城市选手加入红阵营的情况，稍加计算可得出共有 $7$ 种可能的局面。
- 综上所述，可能的局面数为 $15+7=22$ 种。

【数据范围与提示】

|测试点|$n$|$c$|$k$|$M$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$1$|$=1$|$=n$|$\le 1$|$=1$|
|$2$|$=10$|$=n$|$\le 10$|$\le 100$|
|$3$|$=20$|$=n$|$=0$|$\le 100$|
|$4$|$=30$|$=n$|$=0$|$\le 100$|
|$5$|$=30$|$=n$|$\le 30$|$\le 500$|
|$6$|$=500$|$=n$|$=0$|$\le 1000$|
|$7$|$=500$|$=30$|$= 30$|$\le 1000$|
|$8$|$=500$|$=n$|$= 30$|$\le 1000$|
|$9$|$=1000$|$=n$|$=0$|$\le 2500$|
|$10$|$=1000$|$=n$|$=30$|$\le 2500$|

其中，$M=\max{\left\{ C_0,C_1,D_0,D_1\right\}}$。

对于所有测试点，保证 $T\leq 5$。

对于所有测试点中的每一组数据，保证 $c\leq n\leq 1000$，$k\leq 30$，$M\leq 2500$，$1\leq s_i \leq \min\{M, 10\}$。

**另外，请你注意，数据并不保证所有的 $c$ 个城市都有参赛学校。**

#### 提示
十二省联考命题组温馨提醒您：

**数据千万条，清空第一条。**

**多测不清空，爆零两行泪。**

题解

这是一个 t1 难度 $ > $ t2 的故事

首先，是一个 $ 50 \% $ 的暴力

记 $ f[i][j][k] $ 表示前 $ i $ 个人，有 $ j $ 个在 $ 1 $ 阵营（蓝阵营，下同），有 $ k $ 个在 $ 1 $ 派系（鸭派系，下同）的方案数，然后随便转移，效率 $ O(nm^2) $

然后发现，如果没有限制的话，阵营和派系的人数是互不影响的，接着就可以根据这个搞事情

记 $ g1[i][j] $ 表示前 $ i $ 个城市（没有限制的），有 $ j $ 个在 $ 1 $ 阵营的方案数

$ g1[i][j]=g[i-1][j]+g[i-1][j-A[i]],A[i] $ 表示第 $ i $ 个城市的人数

记 $ g2[i][j] $ 表示前 $ i $ 个学校（没有限制的），有 $ j $ 个在 $ 1 $ 派系的方案数

$ g1[i][j]=g[i-1][j]+g[i-1][j-B[i]],B[i] $ 表示第 $ i $ 个学校的人数

发现 $ g1, g2 $ 是一个背包，可以压成一位来搞

记 $ f[j][k] $ 同之前的定义，滚掉第一维，用于转移有限制的城市和学校

对于城市，不同阵营的老师对派系的影响是不同的，因此记 $ h=f $ 记录不同派系的转移

先是对学校的转移( $ ban[i] $ 为 $ i $ 学校不喜欢的导师)

$ f[j][k]=\left\{ \begin{matrix} f[j][k-B[v],ban[i]!=0 \\f[j][k],ban[i]!=1 \end{matrix} \right\} $

$ g[j][k]=\left\{ \begin{matrix} g[j][k-B[v],ban[i]!=2 \\g[j][k],ban[i]!=3 \end{matrix} \right\} $

对于城市的转移

$ f[i][j]=f[i-A[l]][j]+g[i][j] $

考虑如何合并答案

枚举 $ f[i][j] $，则

$ sum-i-c1 \leq x \leq c0-i $，$ x $ 为 $ 1 $ 阵营的人数
$ sum-j-d1 \leq y \leq d0-j $，$ y $ 为 $ 1 $ 派系的人数

则没有限制的方案数为 $ \sum_{x=sum-i-c1}^{c0-i}\times \sum_{y=sum-j-d1}^{d0-i} $，前缀和优化即可 $ O(1) $ 询问

时间效率：$ O(km^2) $，时间主要在 $ f $ 上，但是跑不满

代码

代码写丑了，常数比较大

 #include<bits/stdc++.h>
 #define LL long long
 #define pb push_back
 #define clr(s) memset(s,0,sizeof s)
 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
 using namespace std;
 int R(){
     int x;bool f=;char ch;_(!)if(ch=='-')f=;x=ch^;
     _()x=(x<<)+(x<<)+(ch^);return f?x:-x;}
 const int N=3e3+,P=;
 int n,m,K,g1[N],g2[N],f[N][N],h[N][N],c0,c1,d0,d1,ban[N],Ban[N],A[N],B[N],fa[N],sum,ans,s0,s1;
 vector<int>p[N];
 void clean(){
     clr(g1),clr(g2),clr(f),clr(h),clr(A),clr(B),clr(fa);
     for(int i=;i<=m;i++)p[i].clear();
     sum=s0=s1=ans=;
 }
 int make(int x,int y){
     int l0=max(,sum-x-c1),r0=c0-x;
     int l1=max(,sum-y-d1),r1=d0-y;
     if(l0>r0||l1>r1)return ;
     return 1ll*(g1[r0]-(l0?g1[l0-]:)+P)*(g2[r1]-(l1?g2[l1-]:)+P)%P;
 }
 int main(){
     for(int T=R();T--;clean()){
         memset(ban,-,sizeof ban);
         memset(Ban,-,sizeof Ban);
         n=R(),m=R(),c0=R(),c1=R(),d0=R(),d1=R();
         for(int i=;i<=n;i++){
             fa[i]=R(),B[i]=R();
             sum+=B[i],A[fa[i]]+=B[i];
             p[fa[i]].pb(i);
         }
         K=R();
         for(int i=;i<=K;i++){
             int id=R(),fl=R();
             ban[id]=Ban[fa[id]]=fl;
         }
         g1[]=g2[]=;
         for(int i=;i<=m;i++)
             if(!~Ban[i]&&A[i])
                 for(int j=min(c0,sum);j>=A[i];j--)
                     g1[j]=(g1[j-A[i]]+g1[j])%P;
         for(int i=;i<=c0;i++)g1[i]=(g1[i]+g1[i-])%P;
         for(int i=;i<=n;i++)
             if(!~ban[i])
                 for(int j=min(d0,sum);j>=B[i];j--)
                     g2[j]=(g2[j-B[i]]+g2[j])%P;
         for(int i=;i<=d0;i++)g2[i]=(g2[i]+g2[i-])%P;
         f[][]=;
         for(int i=;i<=m;i++)
             if(~Ban[i]&&A[i]){
                 for(int x=min(c0,s0);~x;x--)
                     for(int y=min(d0,s1);~y;y--)
                         h[x][y]=f[x][y];
                 for(int v:p[i])if(ban[v]!=-){
                     s1+=B[v];
                     int f00=ban[v]^?:,f01=ban[v]^?:,f10=ban[v]^?:,f11=ban[v]^?:;
                     for(int x=min(c0,s0);~x;x--)
                         for(int y=min(d0,s1);~y;y--)
                             if(y>=B[v]){
                                 f[x][y]=(f[x][y]*f01+f[x][y-B[v]]*f00)%P;
                                 h[x][y]=(h[x][y]*f11+h[x][y-B[v]]*f10)%P;
                             }
                             else f[x][y]=f[x][y]*f01,h[x][y]=h[x][y]*f11;
                 }
                 s0+=A[i];
                 for(int x=min(c0,s0);~x;x--)
                     for(int y=min(c0,s1);~y;y--)
                         if(x>=A[i])f[x][y]=(f[x-A[i]][y]+h[x][y])%P;
                         else f[x][y]=h[x][y];
             }
         for(int i=;i<=min(s0,c0);i++)
             for(int j=;j<=min(s1,d0);j++)
                 ans=(ans+1ll*f[i][j]*make(i,j))%P;
         cout<<ans<<endl;
     }
     return ;
 }