Solution -「HNOI 2016」最小公倍数（lacks of code）

Description

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给出一个带权无向图，边权为 \(2^{a}\cdot3^{b}\) 形式。

给出 \(q\) 组形如 \(u,v,a,b\) 的询问，问 \(u,v\) 中是否存在一条路径使得其边权之 \(\text{lcm}\) 为 \(2^{a}\cdot3^{b}\)。

Solution

考虑 \(\text{lcm}\) 的本质，对 \(n\) 个数 \(\prod_{i=1}^{k_{1}}p_{1,i}^{c_{1,i}},\prod_{i=1}^{k_{2}}p_{2,i}^{c_{2,i}},\dots,\prod_{i=1}^{k_{n}}p_{n,i}^{c_{n,i}}\) 取 \(\text{lcm}\) 就是 \(\prod_{i=1}^{\max\{k\}}p_{i}^{\max\{c\}}\)（在一个数中存在的 \(p\) 且在另一个中不存在的置为 \(1\)），对于这题即 \(2^{\max\{a\}}\cdot 3^{\max\{b\}}\)，让两个 \(\max\) 分别等于题目给出的 \(a,b\)。

现在转化一下题意，在 \(u,v\) 中选出一条可非简单路径使得 \(\max\{a\},\max\{b\}\) 分别等于给出的 \(a,b\)。

有一个 naive 的想法是缩点后 LCT 维护结果发现不太行。（好像是我不行）

既然想到了用 LCT 维护连通性那么同样可以想到用 DSU 来维护，把所有满足条件的边放入一个 DSU 然后看 \(u,v\) 是否能被这些边联通。

有两个关键字欸，我们离线询问排序吧。

把所有边按照 \(a\) 排序，把询问按 \(b\) 排序。

然后对边的标号分块，这样块内边 \(a\) 有序。

然后把每个询问放在满足前面块的 \(a\) 都小于等于这个询问的 \(a\) 的块里，并且把块内询问 \(b\) 排序，然后就可以做了。

代码狼 BH 今天又口胡题解没代码了。

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