[ABC270D] Stones

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题意

有两个人玩游戏，有 \(n\) 个石子，和一个长度为 \(k\) 的序列，每次可以取 \(a_i\) 个但前提是剩下来的石子数有 \(a_i\) 个，第一个人先取，问两边都是用最优策略时，第一个人最多能得多少个石子。

思路

可以设计状态 \((x, y, f)\) 表示第一个人取了 \(x\) 个石子，第二个人取了 \(y\) 个石子，由第 \(f + 1\) 人开取，显然 \(x + y \le n\)。

那么可以优化状态，因为要求的是第一个人最多能得多少个石子，所以可以将其中一个变量提取出来变成最优属性，可是光靠知道另一个人取了多少个石子是不够的，所以可以将它变成一共已经取了 \(x\) 个石子，还有由于两个人都用的是最优策略，所以 \(f\) 可以优化掉，也就变成了 \(dp_x = y\)，那转移就是 \(dp_x = \max(x - dp_{x - a_i})\)。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int MaxN = 110, MaxV = 1e4 + 10;

int dp[MaxV], a[MaxN], n, k;

int main() {
  cin >> n >> k;
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    cin >> a[i];
  }
  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= k; j++) {
      if (i >= a[j]) {
        dp[i] = max(dp[i], i - dp[i - a[j]]);
      }
    }
  }
  cout << dp[n] << endl;
  return 0;
}