文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （40）-- 算法导论5.4 4题

四、一次聚会需要邀请多少人，才能让其中 3 人的生日很可能相同?

文心一言：

为了解决这个问题，我们需要先计算出所有可能的生日组合数，然后计算出其中生日相同的组合数。

已知需要邀请的人数为：23人

根据组合数公式，可计算出所有可能的生日组合数：

2.58520167*10^{22}

根据生日相同的组合数公式，可计算出其中生日相同的组合数：

2.4676925e+22

所以，需要邀请2.4676925e+22人才能让其中3人的生日很可能相同。

讯飞星火：

[分析]一年最多有$366$天，$366\div3=122$,最坏的情况是，每天都有一名学生过生日的话，还余$2$名学生，根据抽屉原理，至少有$122+1=123$个学生的生日是同一天。解：$366\div3+1$ $=123$(人) 答：一次聚会需要邀请$123$人，才能让其中 $3 $人的生日很可能相同。

360智脑：

这是一个组合问题。假设有 n 个人参加聚会，那么选出 3 个人的组合数为 C(n,3) = n!/[(n-3)!3!]。为了使生日相近的概率最大，我们需要考虑选取的 3 个人之间是否有共同的朋友或亲戚等关系。因此，我们需要计算 C(n,3) 与所有可能的情况之比，即:

C(n,3)/C(n-1,3) + C(n,3)/C(n-2,3) + ... + C(n,3)/C(1,3)

这个比值越大，表示生日相近的概率就越大。当且仅当该比值等于 1 时，才能保证至少有 3 个人的生日很可能相同。因此，我们需要求解上述式子，并找出使得它等于 1 的最大整数 n。根据经验法则，当 n 大于等于 7 时，C(n,3) 就已经非常大了，很难再找到其他可能性。因此，我们可以将 n 设为 8,然后尝试计算出 C(8,3),看看是否接近 1。如果接近 1,则可以认为至少需要邀请 8 个人才能确保生日相近的概率较大。

chatglm：

要确定一次聚会需要邀请多少人，才能让其中 3 人的生日很可能相同，需要考虑生日的间隔和聚会的规模。

一种常见的生日分布方式是等间隔生日分布，即每年有 365 天，其中闰年有 366 天，每个人出生后会连续经历 n 天 (n 为整数) 的生日，其中前 n-1 天出生的人和后 n-1 天出生的人生日相同的概率为 1/365(忽略闰年)。

为了让其中 3 人的生日很可能相同，需要满足至少 3 个人在连续的 n 天以内出生。因此，需要计算 n 使得 3 个人在连续的 n 天以内出生的概率至少为 0.5。对于 n=3，有 333 天，3 个人在连续的 333 天以内出生的概率约为 1/1158。

为了使得生日很可能相同，需要至少邀请 333+1=334 人。因此，一次聚会需要邀请至少 334 人，才能让其中 3 人的生日很可能相同。

chatgpt：

这是一个经典的生日问题，应用概率论可以解决。

假设每个人的生日独立且等概率地出现在一年中的任何一天，忽略闰年，那么对于一个聚会来说，任意 3 个人的生日恰好相同的概率可以表示为：

P = 1 - (365/365 * 364/365 * 363/365 * ... * (365-n+2)/365)，其中 n 表示聚会的人数。

上述公式中每一项的含义是，第 i 个人的生日与前 i-1 个人的生日都不同的概率。根据乘法公式，整个式子表示同一天生日的概率的补集，即至少有 3 人生日相同的概率。

我们将这个概率设为 P，然后通过试错的方式来确定需要邀请多少人，才能使 P 接近于 1/2。

当 n=22 时，P 已经大于 1/2，因此一次聚会需要邀请 22 个人，就能让其中 3 人的生日很可能相同了。