[LOJ#526]「LibreOJ β Round #4」子集

[LOJ#526]「LibreOJ β Round #4」子集

试题描述

qmqmqm有一个长为 n 的数列 a₁,a₂,……,a_n，你需要选择集合{1,2,……,n}的一个子集，使得这个子集中任意两个元素 i,j 均满足条件 gcd(a_i,a_j)×gcd(a_i+1,a_j+1)≠1，其中gcd(i,j)表示最大公约数，且这个子集的元素个数是所有满足上述条件的子集中最多的。输出这个子集的元素个数。

输入

输入的第一行包含一个正整数n。 随后n行，每行一个正整数ai。

输出

输出一个整数代表符合条件的元素最多的子集的元素个数。

输入示例

输出示例

数据规模及约定

1≤n≤500

1≤ai≤10¹⁸

题解

直接建图（若 (i, j) 符合 gcd(a_i,a_j)×gcd(a_i+1,a_j+1)≠1 则在 i 和 j 之间添边），然后跑最大团。然而我并不会强剪枝。

于是考虑建补图，然后找最大独立集。对于补图，i, j 之间存在边当且仅当 gcd(a_i,a_j)=1 且 gcd(a_i+1,a_j+1)=1，若 a_i 和 a_j 同奇偶，则 a_i 和 a_j 都是偶数或 a_i+1 和 a_j+1 都是偶数，不可能存在边 (i, j)，所以这个补图就是一个二分图。根据“最大独立集 = n - 最小点覆盖 = n - 最大匹配”可求得答案。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long

LL read() {
	LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 510
#define maxm 500010
#define oo 2147483647

struct Edge {
	int from, to, flow;
	Edge() {}
	Edge(int _1, int _2, int _3): from(_1), to(_2), flow(_3) {}
};
struct Dinic {
	int n, m, s, t, head[maxn], nxt[maxm];
	Edge es[maxm];
	int vis[maxn], Q[maxn], hd, tl;
	int cur[maxn];

	void init() {
		m = 0; memset(head, -1, sizeof(head));
		return ;
	}
	void setn(int _) { n = _; return ; }

	void AddEdge(int a, int b, int c) {
		es[m] = Edge(a, b, c); nxt[m] = head[a]; head[a] = m++;
		es[m] = Edge(b, a, 0); nxt[m] = head[b]; head[b] = m++;
		return ;
	}

	bool BFS() {
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		vis[s] = 1;
		hd = tl = 0; Q[++tl] = s;
		while(hd < tl) {
			int u = Q[++hd];
			for(int i = head[u]; i != -1; i = nxt[i]) {
				Edge& e = es[i];
				if(e.flow && !vis[e.to]) {
					vis[e.to] = vis[u] + 1;
					Q[++tl] = e.to;
				}
			}
		}
		return vis[t] > 0;
	}
	int DFS(int u, int a) {
		if(u == t || !a) return a;
		int flow = 0, f;
		for(int& i = cur[u]; i != -1; i = nxt[i]) {
			Edge& e = es[i];
			if(vis[e.to] == vis[u] + 1 && (f = DFS(e.to, min(a, e.flow)))) {
				flow += f; a -= f;
				e.flow -= f; es[i^1].flow += f;
				if(!a) return flow;
			}
		}
		return flow;
	}
	int MaxFlow(int _s, int _t) {
		s = _s; t = _t;
		int flow = 0;
		while(BFS()) {
			for(int i = 1; i <= n; i++) cur[i] = head[i];
			flow += DFS(s, oo);
		}
		return flow;
	}
} sol;

LL A[maxn];
LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

int main() {
	int n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) A[i] = read();

	sol.init();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = i + 1; j <= n; j++)
			if(gcd(A[i], A[j]) == 1 && gcd(A[i] + 1, A[j] + 1) == 1) {
				int a = i, b = j;
				if(A[a] & 1) swap(a, b);
				sol.AddEdge(a, b, 1); // even -> odd
			}
	int s = n + 1, t = n + 2;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(A[i] & 1) sol.AddEdge(i, t, 1);
		else sol.AddEdge(s, i, 1);

	sol.setn(n + 2);
	printf("%d\n", n - sol.MaxFlow(s, t));

	return 0;
}