【51nod 1667】概率好题
题目
甲乙进行比赛。
他们各有k1,k2个集合[Li,Ri]
每次随机从他们拥有的每个集合中都取出一个数
S1=sigma甲取出的数,S2同理
若S1>S2甲胜 若S1=S2平局 否则乙胜
分别求出甲胜、平局、乙胜的概率。
(显然这个概率是有理数,记为p/q,则输出答案为(p/q)%(1e9+7))(逆元)
注意 多组数据
分析
考虑甲胜的概率,其他类似,
\(\sum x_i>\sum y_i\),其中\(L1[i]<=x_i<=R1[i],L2[i]<=y_i<=R2[i]\)
我们设\(x_i=L1[i]+x_i,y_i=R2[i]-y_i\)
所以
\]
移项
\]
设k
\]
然后就可以容斥了,
枚举至少t个数超出范围,容斥系数为(-1)^k,用插板法求值。
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int inf=2147483647;
const long long mo=1e9+7;
const int N=10;
int T,n,m,lim[N],lim1[N],L[N],R[N],L1[N],R1[N];
long long ans,ny[N*3],an[3];
using namespace std;
long long ksm(long long x,int y)
{
long long s=1;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mo)
if(y&1) s=s*x%mo;
return s;
}
long long C(long long n,long long m)
{
long long s=1;
for(long long i=0;i<m;i++) s=s*(n-i)%mo;
s=s*ny[m]%mo;
return s;
}
void dg(int x,int y,int s,int op)
{
if(x>n+m)
{
if(s<0) return;
ans=(ans+(y&1?-1:1)*C(s+n+m+op-1,n+m+op-1)+mo)%mo;
return;
}
dg(x+1,y,s,op),dg(x+1,y+1,x<=n?s-lim[x]-1:s-lim1[x-n]-1,op);
}
int main()
{
ny[0]=ny[1]=1;
for(int i=2;i<=20;i++) ny[i]=(mo-mo/i)*ny[mo%i]%mo;
for(int i=2;i<=20;i++) ny[i]=ny[i-1]*ny[i]%mo;
for(scanf("%d",&T);T--;)
{
scanf("%d",&n);
long long num=1;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&L[i],&R[i]),lim[i]=R[i]-L[i],num=num*(R[i]-L[i]+1)%mo;
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&L1[i],&R1[i]),lim1[i]=R1[i]-L1[i],num=num*(R1[i]-L1[i]+1)%mo;
int s=-1;
for(int i=1;i<=n;i++) s-=L[i];
for(int i=1;i<=m;i++) s+=R1[i];
ans=0,dg(1,0,s,1),an[2]=1ll*ans*ksm(num,mo-2)%mo;
ans=0,dg(1,0,s+1,0),an[1]=1ll*ans*ksm(num,mo-2)%mo;
an[0]=(1-an[1]-an[2]+mo*2)%mo;
printf("%lld %lld %lld\n",an[0],an[1],an[2]);
}
}
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