【51nod 1667】概率好题

题目

甲乙进行比赛。

他们各有k1,k2个集合[Li,Ri]

每次随机从他们拥有的每个集合中都取出一个数

S1=sigma甲取出的数，S2同理

若S1>S2甲胜 若S1=S2平局 否则乙胜

分别求出甲胜、平局、乙胜的概率。

（显然这个概率是有理数，记为p/q，则输出答案为（p/q）%(1e9+7)）（逆元）

注意 多组数据

分析

考虑甲胜的概率，其他类似，

\(\sum x_i>\sum y_i\)，其中\(L1[i]<=x_i<=R1[i],L2[i]<=y_i<=R2[i]\)

我们设\(x_i=L1[i]+x_i,y_i=R2[i]-y_i\)

所以

\[\sum L1[i]+x_i>\sum R2[i]-y_i
\]

移项

\[\sum x_i +\sum y_i>\sum R2[i]-\sum L1[i]
\]

设k

\[\sum x_i +\sum y_i-1>=\sum R2[i]-\sum L1[i]+k
\]

然后就可以容斥了，

枚举至少t个数超出范围，容斥系数为(-1)^k，用插板法求值。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int inf=2147483647;
const long long mo=1e9+7;
const int N=10;
int T,n,m,lim[N],lim1[N],L[N],R[N],L1[N],R1[N];
long long ans,ny[N*3],an[3];
using namespace std;
long long ksm(long long x,int y)
{
	long long s=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if(y&1) s=s*x%mo;
	return s;
}
long long C(long long n,long long m)
{
	long long s=1;
	for(long long i=0;i<m;i++) s=s*(n-i)%mo;
	s=s*ny[m]%mo;
	return s;
}
void dg(int x,int y,int s,int op)
{
	if(x>n+m)
	{
		if(s<0) return;
		ans=(ans+(y&1?-1:1)*C(s+n+m+op-1,n+m+op-1)+mo)%mo;
		return;
	}
	dg(x+1,y,s,op),dg(x+1,y+1,x<=n?s-lim[x]-1:s-lim1[x-n]-1,op);
}
int main()
{
	ny[0]=ny[1]=1;
	for(int i=2;i<=20;i++) ny[i]=(mo-mo/i)*ny[mo%i]%mo;
	for(int i=2;i<=20;i++) ny[i]=ny[i-1]*ny[i]%mo;
	for(scanf("%d",&T);T--;)
	{
		scanf("%d",&n);
		long long num=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&L[i],&R[i]),lim[i]=R[i]-L[i],num=num*(R[i]-L[i]+1)%mo;
		scanf("%d",&m);
		for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&L1[i],&R1[i]),lim1[i]=R1[i]-L1[i],num=num*(R1[i]-L1[i]+1)%mo;
		int s=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++) s-=L[i];
		for(int i=1;i<=m;i++) s+=R1[i];
		ans=0,dg(1,0,s,1),an[2]=1ll*ans*ksm(num,mo-2)%mo;
		ans=0,dg(1,0,s+1,0),an[1]=1ll*ans*ksm(num,mo-2)%mo;
		an[0]=(1-an[1]-an[2]+mo*2)%mo;
		printf("%lld %lld %lld\n",an[0],an[1],an[2]);
	}
}