【Usaco2014Open银组】双导航(gpsdual)

题目

【题目描述】

FJ 最近网购了一台小车。但是由于他的草率，在选择加装物品时偶然地点击了两次“Submit” ，结果最后他的小车装了两台GPS 导航系统！更糟的是，这两个系统对于FJ 要走的路线经常做出矛盾的判断。

FJ 居住地区的地图由N 个路口（2<=N <=10,000）和M 条有向边（1<=M<=50,000）组成。第i 条路连接路口Ai（1 <=Ai<=N）和Bi（1 <=Bi<=N）。对于同一对路口，可能有多条路连接它们；并且一条无向边会被表示成两条方向相反，连接路口相同的边。FJ 的房子位于第一路口，他的农场位于路口N。从他的房子出发，经过一系列有向边，是可以到达农场的。

两个GPS 系统基于如上面所描述的相同地图。然而，每条路它们存储的通过所需时间不相同。道路i 根据第一GPS 系统需要Pi 单位时间来通过，根据第二GPS 系统需要Qi 单位时间来通过（每个通过时间均是在1 到100,000 范围内的整数）。

FJ 想要从他的房子自驾车到农场。然而，当FJ 在一条某一个GPS 系统认为不属于最短路径内（从道路起始点X 到农场的最短路径）的道路（从路口X 到路口Y ）上行驶时，这个GPS 系统会大声警告（如果FJ 选择的道路两个系统都不认可，那么两个系统都会警告FJ）。

请帮助FJ 找出，如果他恰当地选择他的路线，他能收到的警告最少是多少。

如果当FJ 沿一条道路走的时候两个GPS 都在警告，那么总警告数+2。

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【输入】

第一行，整数N 和M。

接下来M 行，第i 行有四个整数Ai,Bi, Pi,Qi 描述第i 条道路。

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【输出】

输出单独一行一个整数——FJ 选择从他家到达农场的最佳线路之后，路上收到的最小总警告数。

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【样例输入】

5 7

3 4 7 1

1 3 2 20

1 4 17 18

4 5 25 3

1 2 10 1

3 5 4 14

2 4 6 5

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【样例输出】

1

【样例解释】

输入详述：这里有5 个路口和7 条有向道路。第一条道路从路口3 到路口4 连接两个路口；第一GPS 认为这条路需要7 单位时间来通过，接着第二GPS 认为它只需1单位时间，诸如此类。

输出详述：如果FJ 按照路线1->2->4->5 走，那么第一GPS 会在1->2 这条路上发出警告（它认为1->3 这条路更好）。然而，对于路线剩下的2->4->5，两个GPS 都快乐地坐着FJ 的小车通过了，因为每个GPS 都以为这是2 到5 的最短路。

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题解

这题主要讲了Farmer John把奶牛们打包送到肯德基后赚了一大笔钱，就网购小汽车。不料脑子瓦特了一下，订了两个GPS。店家黑心，没有告诉FJ这一消息，反而给了他两个版本不同的、声音响亮的GPS导航，这两个导航会在FJ不在走它们所认为的最短路时鸣叫，苦苦折磨着可怜的FJ。FJ就决定找一条去农场的最佳路径，使他被折磨的次数最少。

这题一眼扫过去，最短路算法！

没错，这题就是最短路，直觉没有坑害你。

于是一些人就立刻敲代码了，但是，怎么最短路呢？！

First，做这道题之前，你必须明白一件事——所谓的最短路是指到终点的最短路，当FJ从点 i 出发，走的边不是GPS认为的从点 i 出发去终点所要走的边时（即不在点 i 到终点的最短路上）就会发出警告。

所以要初始化从每一个点出发到终点要走那一条边（只会走一条）。

怎么弄呢？其实可以先跑一次SPFA，计算第一个GPS中每一个点到终点的距离（设第 i 个点的距离为\({dis1_{i}}\)），跑一次SPFA，计算第二个GPS中每一个点到终点的距离（设第 i 个点的距离为\({dis2_{i}}\)）。根据SPFA算法的思路，可以推出，对于每一个导航，当点 i 和点 j 通过第 k 条边相连，点 j 到终点的距离被点 i 通过第 k 条边更新时，如果后来都没有任何点更新了点 i 和点 j 的最短路，那么\({dis_{i}+lenth_{k}=dis_{j}}\)（\(lenth_{k}\)表示第k条边的长度），由于对于每一个导航都是如此，我就用\(dis\)来代替\(dis1\)和\(dis2\)了。

如果点 i 离终点的最短距离被更新了，那么\(dis_{i}+lenth_{k}<dis_{j}\)，如果点 j的被更新了,那么\(dis_{i}+lenth_{k}>dis_{j}\)。有人就要问了，如果i和j都被更新了怎么办？那样就必须再白一件事：如果点j到终点的最短路径中仍然是要经过点i的话，那么\(dis_{i}+lenth_{k}=dis_{j}\)（想一想，为什么）；如果点j到终点的最短路径已经不用经过点i，那么\(dis_{i}+lenth_{k}<dis_{j}\)。

所以，再求出最短路径后，我们就可以枚举每一条边。设这条边的起点是u，终点是v，编号是i，当导航1在FJ经过这一条边时会发出警告，就一定会满足\(dis1_{i}+lenth_{k}>dis1_{j}\)；当导航2在FJ经过这一条边时会发出警告，就一定会满足\(dis2_{i}+lenth_{k}>dis2_{j}\)

但是，这一切都搞定了，怎么求最少警告次数呢？

最短路！

我们可以视如果FJ经过一条边会被警告k次，那这一条边的权值就为k，这样弄完以后，再从起点出发跑一次SPFA就好了。

提示：由于本题要跑多次SPFA，建议建一个专门的函数来做SPFA。

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代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
struct edge
{
	int From,Lenth,To;
	void swap()
	{
		int t=From;
		From=To;
		To=t;
	}
}a[50010],b[50010],c[50010];
int n,m,dis[10010],date[51000],start[10010],end[10010];
bool exist[10010];
int cmp(const void *x,const void *y)
{
	edge xx=*(edge*)x,yy=*(edge*)y;
	if(xx.From!=yy.From) return xx.From-yy.From;
	return xx.To-yy.To;
}
void spfa(int st)
{
	int i,j,u,v,head=0,tail=1;
	qsort(a+1,m,sizeof(edge),cmp);
	for(i=1;i<=n;i++) dis[i]=2e9;
	a[m+1].From=0;
	for(i=1;i<=m+1;i++)
	{
		if(a[i].From!=a[i-1].From)
		{
			start[a[i].From]=i;
			end[a[i-1].From]=i-1;
		}
	}
	date[1]=st,dis[st]=0;
	while(head<tail)
	{
		head++;
		if(head==51000) head=1;
		u=date[head];
		exist[u]=0;
		for(i=start[u];i<=end[u];i++)
		{
			v=a[i].To;
			if(dis[u]+a[i].Lenth<dis[v])
			{
				dis[v]=dis[u]+a[i].Lenth;
				if(!exist[v])
				{
					exist[v]=1;
					tail++;
					if(tail==51000) tail=1;
					date[tail]=v;
				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
	freopen("gpsdual.in","r",stdin);
	freopen("gpsdual.out","w",stdout);
	int i,j,k,x,y,lena,lenb,t;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&lena,&lenb);
		a[i]=(edge){y,lena,x};
		b[i]=(edge){y,lenb,x};
		c[i]=(edge){y,0,x};
	}
	qsort(c+1,m,sizeof(edge),cmp);
	spfa(n);
	for(i=1;i<=m;i++)//交换
	{
		if(dis[a[i].From]+a[i].Lenth>dis[a[i].To]) c[i].Lenth++;
		a[i]=b[i];
	}
	spfa(n);
	for(i=1;i<=m;i++)//交换
	{
		if(dis[a[i].From]+a[i].Lenth>dis[a[i].To]) c[i].Lenth++;
		c[i].swap();
		a[i]=c[i];
	}
	spfa(1);
	printf("%d\n",dis[n]);
	return 0;
}