<Sicily>Fibonacci 2
一、题目描述
In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn-1 + Fn-2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Given an integer n, your goal is to compute the last Fn mod (10^9 + 7).
二、输入
The input test file will contain a single line containing n (n ≤ 2^31-1).
There are multiple test cases!
三、输出
For each test case, print the Fn mod (10^9 + 7).
例如:
输入:9
输出:34
四、解题思路
这次要求输入的数会很大,使用递归或者动态规划的方法时,会超时。
所以只能使用矩阵方法求解。把问题转换为矩阵相乘,矩阵相乘可以通过快速幂的求解方法提高效率。
1、矩阵表示
2、矩阵推导公式
3、带入f(0),f(1)
由上面的公式能可知,可以把原问题转换成求一个矩阵的n次幂问题。
4、整数n次方的快速幂求法
例如求3的999次方
快速幂求法
5、使用同样的方法求一矩阵n次方
五、代码
#include <iostream>
using namespace std;
const long long int MODE = 1000000000+7; //当数太大是取模(题目要求)
struct Matrix //矩阵
{
long long int mat[2][2];
};
Matrix matrixMultiply(Matrix m1, Matrix m2) //两个矩阵乘积
{
Matrix result;
for(int i = 0; i < 2; i++) //第i行(m1)
{
for(int j = 0; j < 2; j++) //第j列(m2)
{
result.mat[i][j] = 0;
for(int k = 0; k < 2; k++) //m1的第i行乘以m2的第j列
{
result.mat[i][j] += m1.mat[i][k] * m2.mat[k][j];
result.mat[i][j] %= MODE;
}
}
}
return result;
}
Matrix exponentiate(Matrix m1, long long int n) //矩阵的n次幂
{
Matrix result = {1, 0, 1, 0};
while(n)
{
if(n & 1) result = matrixMultiply(result, m1); //当n为奇数时
m1 = matrixMultiply(m1, m1);
n >>= 1;
}
return result;
}
int main()
{
Matrix baseMatrix = {1, 1, 1, 0};
Matrix resultMatrix;
long long int n, fn;
while(cin >> n)
{
if(n == 0 || n == 1)
{
cout << n << endl;
continue;
}
resultMatrix = exponentiate(baseMatrix, n);
fn = resultMatrix.mat[0][1];
cout << fn << endl;
}
return 0;
}
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