BZOJ5020: [THUWC 2017]在美妙的数学王国中畅游(LCT,泰勒展开,二项式定理)

Description

数字和数学规律主宰着这个世界。

 

机器的运转，

 

生命的消长，

 

宇宙的进程，

 

这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。

 

这印证了一句古老的名言：

 

“学好数理化，走遍天下都不怕。”

 

学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。

 

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：

 

    正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

 

    指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

 

    一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

Input

第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。

表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。 

typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。

其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。

 

接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。

一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若

    f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

    f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

    f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。

    appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。

    disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。

    magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数

    travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v 

（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。

 若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。

1≤n≤100000,1≤m≤200000

Output

对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。

Sample Input

3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5

Sample Output

9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000

解题思路：

题目描述如此毒瘤。

从操作3得到的启发，将多项式展开对应项相加。

这道题可以将sin(ax+b),e^ax+b泰勒展开。

精度的话16位肯定够。剩下的就是裸的LCT了。

听霉霉的歌写泰勒展开不容易错

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define lll tr[spc].ch[0]
 #define rrr tr[spc].ch[1]
 #define ls ch[0]
 #define rs ch[1]
 const int N=;
 const int oo=;
 struct trnt{
     int ch[];
     int fa;
     int lzt;
     int type;
     bool anc;
     double a,b;
     double C[oo];
     double f[oo];
     double val(double x)
     {
         double ans=f[];
         double t=x;
         for(int i=;i<oo;i++,t*=x)
             ans+=f[i]*t;
         return ans;
     }
     void Insert(void)
     {
         scanf("%d",&type);
         scanf("%lf%lf",&a,&b);
         return ;
     }
     void Taylor(double *fac)
     {
         double at[oo],bt[oo];
         for(int i=;i<oo;i++)
             C[i]=at[i]=bt[i]=;
         at[]=;
         bt[]=;
         for(int i=;i<oo;i++)
             at[i]=at[i-]*a,bt[i]=bt[i-]*b;
         if(type==)
         {//sin(ax+b)
             double tmp=;
             for(int i=;i<oo;i+=)
             {
                 for(int j=;j<=i;j++)
                     C[j]+=tmp*at[j]*bt[i-j]/fac[j]/fac[i-j];
                 tmp*=-1.00;
             }
             return ;
         }
         if(type==)
         {//e^(ax+b)
             for(int i=;i<oo;i++)
             {
                 for(int j=;j<=i;j++)
                     C[j]+=fac[i]/fac[j]/fac[i-j]*at[j]*bt[i-j]/fac[i];
             }
             return ;
         }
         if(type==)
         {
             C[]=b;
             C[]=a;
             return ;
         }
     }
 }tr[N];
 int n,m;
 double fac[];
 char tmp[];
 bool whc(int spc)
 {
     return tr[tr[spc].fa].rs==spc;
 }
 void pushup(int spc)
 {
     for(int i=;i<oo;i++)
         tr[spc].f[i]=tr[spc].C[i];
     if(lll)
         for(int i=;i<oo;i++)
             tr[spc].f[i]+=tr[lll].f[i];
     if(rrr)
         for(int i=;i<oo;i++)
             tr[spc].f[i]+=tr[rrr].f[i];
     return ;
 }
 void trr(int spc)
 {
     if(!spc)
         return ;
     std::swap(lll,rrr);
     tr[spc].lzt^=;
     return ;
 }
 void pushdown(int spc)
 {
     if(tr[spc].lzt)
     {
         trr(lll);
         trr(rrr);
         tr[spc].lzt=;
     }
     return ;
 }
 void recal(int spc)
 {
     if(!tr[spc].anc)
         recal(tr[spc].fa);
     pushdown(spc);
     return ;
 }
 void rotate(int spc)
 {
     int f=tr[spc].fa;
     bool k=whc(spc);
     tr[f].ch[k]=tr[spc].ch[!k];
     tr[spc].ch[!k]=f;
     if(tr[f].anc)
     {
         tr[f].anc=;
         tr[spc].anc=;
     }else
         tr[tr[f].fa].ch[whc(f)]=spc;
     tr[spc].fa=tr[f].fa;
     tr[f].fa=spc;
     tr[tr[f].ch[k]].fa=f;
     pushup(f);
     pushup(spc);
     return ;
 }
 void splay(int spc)
 {
     recal(spc);
     while(!tr[spc].anc)
     {
         int f=tr[spc].fa;
         if(tr[f].anc)
         {
             rotate(spc);
             return ;
         }
         if(whc(spc)^whc(f))
             rotate(spc);
         else
             rotate(f);
         rotate(spc);
     }
     return ;
 }
 void access(int spc)
 {
     int lst=;
     while(spc)
     {
         splay(spc);
         tr[rrr].anc=;
         tr[lst].anc=;
         rrr=lst;
         lst=spc;
         pushup(spc);
         spc=tr[spc].fa;
     }
     return ;
 }
 void Mtr(int spc)
 {
     access(spc);
     splay(spc);
     trr(spc);
     return ;
 }
 void split(int x,int y)
 {
     Mtr(x);
     access(y);
     splay(y);
     return ;
 }
 void link(int x,int y)
 {
     Mtr(x);
     tr[x].fa=y;
     return ;
 }
 bool together(int x,int y)
 {
     split(x,y);
     while(tr[y].ls)
         y=tr[y].ls;
     return x==y;
 }
 void cut(int x,int y)
 {
     split(x,y);
     tr[x].fa=;
     tr[x].anc=true;
     tr[y].ls=;
     pushup(y);
     return ;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     scanf("%s",tmp);
     fac[]=;
     for(int i=;i<oo;i++)
     {
         double x=i;
         fac[i]=fac[i-]*x;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         tr[i].Insert();
         tr[i].Taylor(fac);
         tr[i].anc=;
     }
     while(m--)
     {
         scanf("%s",tmp+);
         if(tmp[]=='a')
         {
             int a,b;
             scanf("%d%d",&a,&b);
             a++,b++;
             link(a,b);
         }else if(tmp[]=='d')
         {
             int a,b;
             scanf("%d%d",&a,&b);
             a++,b++;
             cut(a,b);
         }else if(tmp[]=='m')
         {
             int x;
             scanf("%d",&x);
             x++;
             splay(x);
             tr[x].Insert();
             tr[x].Taylor(fac);
         }else{
             int a,b;
             scanf("%d%d",&a,&b);
             double x;
             scanf("%lf",&x);
             a++,b++;
             if(!together(a,b))
                 puts("unreachable");
             else{
                 double ret=tr[b].val(x);
                 printf("%.8e\n",ret);
             }
         }
     }
     return ;
 }