[UOJ 41]【清华集训2014】矩阵变换

Description

给出一个 $N$ 行 $M$ 列的矩阵A, 保证满足以下性质:

$M > N$。
矩阵中每个数都是 $[0, N]$ 中的自然数。
每行中, $[1, N]$ 中每个自然数都恰好出现一次。这意味着每行中 $0$ 恰好出现 $M - N$ 次。
每列中，$[1, N]$ 中每个自然数至多出现一次。

现在我们要在每行中选取一个非零数，并把这个数之后的数赋值为这个数。我们希望保持上面的性质4，即每列中，$[1, N]$ 中每个自然数仍然至多出现一次。

Input

第一行一个正整数 $T$，表示数据组数。

后面包含 $T$ 组数据，各组数据之间无空行。每组数据以两个正整数 $N, M$ 开始，接下来 $N$ 行，每行 $M$ 个用空格隔开的整数，意义如题所述。

Output

对于每组数据输出一行。如果有解，则输出 $N$ 个整数，依次表示每一行取的数是多少。（这应该是一个 $1$ 到 $N$ 的排列）如果无解，则输出任意卖萌表情。

Sample Input

2

5 10

0 1 0 2 3 0 0 4 0 5

2 0 3 0 0 1 0 5 4 0

4 2 1 0 0 0 3 0 5 0

0 3 0 4 0 5 0 1 2 0

1 0 0 3 2 4 5 0 0 0

5 10

0 1 0 2 3 0 0 4 0 5

2 0 3 0 0 1 0 5 4 0

4 2 1 0 0 0 3 0 5 0

0 3 0 4 0 5 0 1 2 0

1 0 0 3 2 4 5 0 0 0

Sample Output

4 5 3 1 2

5 4 3 1 2

Sample Explanation

两组输入数据是相同的。由于结果不唯一，你可以给出任意一组合法答案。

Hint

对于 20% 的数据，$M < 8, T < 8$。

对于 40% 的数据，$N < 8, T < 8$。

对于 100% 的数据，$N < 200, M < 400, T < 50$。

卖萌表情包括但不限于“\(^o^)/” (不含引号).

由于输入数据较大, 请自行优化输入方法.

时间限制：$1\texttt{s}$

空间限制：$512\texttt{MB}$

题解

稳定婚姻问题。

首先值得肯定的是每一行所选的数不能相同，那么现在就相当于 $n$ 个行匹配 $n$ 个数。

那么什么是不稳定的婚姻？如果假设数 $x$ 在第 $i$ 行选中的数之前（确保 $x$ 没有被选中的数删去），又同时选中 $x$ 的 $j$ 行中 $x$ 位置比 $i$ 行中 $x$ 位置靠前。显然这个时候是不合法的。但只要我们选第 $i$ 行的 $x$ ，再作调整就能得到合法的解。

所以归纳得出的结论就是：在一行中，偏好选在靠前面的数字。而对于每个数字，偏好其在行中的位置靠后的行。

那么就可以跑 $Gale-Shapley$ 。

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 #include <set>

 #include <map>

 #include <cmath>

 #include <ctime>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <cstdio>

 #include <string>

 #include <vector>

 #include <cstdlib>

 #include <cstring>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #define LL long long

 #define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))

 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

 #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))

 #define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))

 using namespace std;

 const int N = ;

 void read(int &x) {

     char ch; bool flag = ;

     for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || ); ch = getchar());

     for (x = ; isdigit(ch); x = (x<<)+(x<<)+ch-, ch = getchar());

     x *= -*flag;

 }

 void write(int x) {

     if (x > ) write(x/);

     putchar(x%+);

 }

 int n, m;

 int alike[N+][N+], blike[N+][N+];

 int achoice[N+], bchoice[N+];

 queue<int>Q;

 void work() {

     read(n), read(m);

     for (int i = ; i <= n; i++)

     for (int j = , tot = , x = ; j <= m; j++, x = ) {

         read(x); if (x) alike[i][++tot] = x, blike[x][i] = j;

     }

     for (int i = ; i <= n; i++) blike[i][n+] = , bchoice[i] = n+, achoice[i] = , Q.push(i);

     while (!Q.empty()) {

     int a = Q.front(), b = alike[a][achoice[a]];

     if (blike[b][bchoice[b]] < blike[b][a]) {

         Q.pop();

         if (bchoice[b] != n+) {

         achoice[bchoice[b]]++;

         Q.push(bchoice[b]);

         }

         bchoice[b] = a;

     }else achoice[a]++;

     }

     for (int i = ; i <= n; i++) write(alike[i][achoice[i]]), putchar(' ');

 }

 int main() {

     int t; read(t);

     while (t--) {work(); if (t) putchar('\n'); }

     return ;

 }