[物理学与PDEs]第1章习题6 无限长载流直线的磁场

试计算电流强度为 $I$ 的无限长的直导线所产生的磁场的磁感强度.

解答: 设 $P$ 到直线的距离为 $r$, 垂足为 $P_0$, 则 ${\bf B}(P)$ 的方向为 ${\bf I}\times {\bf r}_{P_0P}$, 大小为 $$\beex \bea {\bf B}(P)&=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \cfrac{|I\rd{\bf x}\times{\bf r}_{xP}|}{r_{xP}^3}\\ &=\cfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \cfrac{I}{x^2+r^2} \cfrac{r}{\sqrt{x^2+r^2}}\rd x\\ &=\cfrac{2\mu_0Ir}{4\pi}\int_0^\infty \cfrac{1}{(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\rd x\\ &=\cfrac{2\mu_0Ir}{4\pi}\cdot \cfrac{1}{r^2}\\ &=\cfrac{\mu_0I}{2\pi r}. \eea \eeex$$ 另外, 你也可以直接由 Amp\'ere 定理证明: $$\bex B\cdot 2\pi r=\mu_0I\ra B=\cfrac{\mu_0I}{2\pi r}. \eex$$