AtCoder Regular Contest 148 A - mod M

题面

You are given a sequence \(A = (A_1, A_2, ..., A_N)\).

You may perform the following operation exactly once.

Choose an integer \(M\) at least \(2\). Then, for every integer \(i\) (\(1 \leq i \leq N\)), replace \(A_i\) with the remainder when \(A_i\) is divided by \(M\).

For instance, if \(M = 4\) is chosen when \(A = (2, 7, 4)\), \(A\) becomes \((2 \bmod 4, 7 \bmod 4, 4 \bmod 4) = (2, 3, 0)\).

Find the minimum possible number of different elements in \(A\) after the operation.

Constraints

• \(2 \leq N \leq 2 \times 10^5\)
• \(0 \leq A_i \leq 10^9\)
• All values in the input are integers.

简要题意

给出一个长度为 \(N\) 的序列 \(A\)，你需要找到一个整数 \(M(M \geq 2)\)，使得所有 \(A_i \bmod m\) 的值种数最小，输出种数。

如 \(A=[1,4,8]\)，则可以取 \(M=2\)，\(A_1 \bmod M=1,A_2 \bmod M=0,A_3 \bmod M=0\)，共 \(2\) 种，这是最优的。

\(2 \leq N \leq 2 \times 10^5,0 \leq A_i \leq 10^9\)

思路

这道题答案只可能是 \(1\) 或 \(2\)。因为如果答案大于 \(2\)，我们可以取 \(M=2\) 这样种数最多是 \(2\)。

先排序。

不难发现，答案为 \(1\) 则代表存在 \(M\)，使得 \(A_1 \equiv A_2 \equiv \cdots \equiv A_{n-1} \equiv A_n \pmod{M}\)，根据同余定义可知 \(A_2-A_1 \mid A_3-A_2 \mid \cdots A_{n-1}-A_{n-2} \mid A_n-A_{n-1}\)， 可以推出 \(\gcd\limits_{i=2}^{n}{(A_i-A_{i-1})}=m\)。

所以如果 \(\gcd\limits_{i=2}^{n}{(A_i-A_{i-1})} \gt 1\)，答案是 \(1\)，否则是 \(2\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n;
int a[1000005];
int rrr;

signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	rrr=a[2]-a[1];
	for(int i=3;i<=n;i++){
		rrr=__gcd(rrr,a[i]-a[i-1]);
	}
	if(rrr!=1){
		cout<<1;
	}
	else{
		cout<<2;
	}
	return 0;
}