知识点简单总结——minmax容斥

知识点简单总结——minmax容斥

minmax容斥

好像也有个叫法叫最值反演？

就是这样的一个柿子：

\[max(S) = \sum\limits_{ T \subseteq S } min(T) \times (-1)^{|T|-1}
\]

用 $ Max $ 来求 $ Min $ 也一样可行。

证明不太难，所以干脆咕了，随便找个证明。

应用

由于期望的线性性，以上公式对于每个元素的期望也是成立的，

可以写作 $ E( max(S) ) = \sum\limits_{T \subseteq S} E( min(T) ) $ 。

这个是比较有用的，因为很明显 $ E( max(S) ) \ne max( E(S) ) $ ，这个是不容易轻易用正常方法求出的。

例题

[HAOI2015]按位或

要求求出 $ E( max(U) ) $ 。

很明显求不出来所以考虑改求 $ E( min(S) ) $ 。

考虑有 $ P( min(T) == k ) = P( S \oplus U ) ^ {k-1} ( 1 - P( S \oplus U ) ) $ 。

几何分布，很容易得出 $ E( min(S) ) = \frac{ 1 }{ 1 - P'( S \oplus U )} $ ，其中 $ P'(S) = \sum\limits_{T \subseteq S} P(T) $ 。

$ FWT $ 变换一下即可出解，注意特判 $ \le eps $ 。

[PKUWC2018]随机游走

依然改求 $ E( min(S) ) $ 。

也就是求经过某个集合中至少一个点时的期望步数。

设 $ f_{S,x} $ 为从 $ x $ 出发，到达 $ S $ 中某个点时的期望步数，很明显 $ E( min(S) ) = f_{S,root} $ 。

\[f_{S,x} = \frac{ f_{ S,fa_{ x } } + \sum\limits_{ y \in son_{ x } } f_{ S,y } }{ deg_{ x } } + 1
\]

为了分离父亲对其贡献，考虑转化成 $ f_{S,x} = A_{x} * f_{ S , fa_{ x } } +B_{x} $ 。

解完之后发现与父亲的值无关，可以直接树形dp。

然后直接minmax容斥就完事了。

扩展minmax容斥

\[\max\limits_{k}(S) = \sum\limits_{ T \subseteq S } min(T) \times (-1)^{|T|-k} \times \binom{|T|-1}{k-1}
\]

$ \max\limits_{k}(S) $ 表示第 $ k $ 大。

证明需要用到二项式定理，也咕了。

依然对期望成立。

例题

重返现世

注意到 $ |n-k| \le 10 $ 。

很明显答案要求 $ E(\min\limits_{k}(U)) $ ，等效于 $ E(\max\limits_{n-k+1}(U)) $ 。

那么求 $ E(min(S)) $ 就好。

问题来了。

$ n \le 1000 $ ，不能直接做。

但是 $ m \le 10000 $ ，可以从这里下手设计dp。

然后再往下的我不会了。

很明显 $ E(min(S)) = \frac{1}{ \sum\limits_{i \in S} p_{i} } $ 。

考虑用dp统计对于每个 $ \sum\limits_{i \in S} p_{i} $ 的值的系数和。

具体的dp设计它咕了。