[递推] A. 【例题1】错排问题

A. 【例题1】错排问题

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题目描述

求多少个

n

n

n个数的排列

A

A

A ，满足对于任意的

i

(

1

≤

i

≤

n

)

i(1 ≤ i ≤ n)

i(1≤i≤n) 使

A

i

≠

i

Ai ≠ i

Ai​=i 。

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输入格式

一个整数 。

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输出格式

一个整数，表示答案。

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样例

• 输入样例

2

• 输出样例

1

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数据范围与提示

对于

100

%

100\%

100%的数据，

1

≤

n

≤

20

1 ≤ n ≤ 20

1≤n≤20。

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题目解析

首先这道题我们考虑递推;

首先,先以

f

(

1

)

=

0

,

f

(

2

)

=

1

f(1) = 0,f(2) = 1

f(1)=0,f(2)=1.(手推

1

,

2

1,2

1,2项您总会吧)
再从

3

3

3开始进行递推.

考虑从

n

n

n个数分别放在不同的位置有

n

n

n种方法,那么不放在原位就有

n

−

1

n-1

n−1种方法.
再考虑从

n

n

n中提取一个数

l

l

l.
考虑两种情况

1. 把

   l

   l

   l放在原位上:那么除

   l

   l

   l外的

   n

   −

   1

   n-1

   n−1个数的方法就为

   f

   (

   n

   −

   2

   )

   f(n-2)

   f(n−2)
   (

   n

   −

   1

   n-1

   n−1个数放在不同的位置,有

   n

   −

   1

   n-1

   n−1种方法)

2. 不把

   l

   l

   l放在原位上:那么对于剩余的

   n

   −

   1

   n-1

   n−1个数就可以放在任何位,那么就是

   f

   (

   n

   −

   1

   )

   f(n-1)

   f(n−1)种方法(同

   n

   n

   n个数分别放在不同的位置,不放在原位的就是

   l

   l

   l)

那么我们就很容易可以得出递推式:

f

(

i

)

=

{

f

(

1

)

=

0

f

(

2

)

=

1

f

(

i

)

=

(

n

−

1

)

∗

(

f

(

n

−

1

)

+

f

(

n

−

2

)

)

(

i

>

2

)

f(i) = \left\{\begin{matrix} &~~~~~~~f(1) = 0~~~~~~~~~f(2) = 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ & f(i) = (n - 1) * (f(n-1)+f(n-2)) ~~~~~~~~~~~(i>2)\\ \end{matrix}\right.

f(i)={​       f(1)=0         f(2)=1                                                         f(i)=(n−1)∗(f(n−1)+f(n−2))           (i>2)​

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Code

小小的提醒:

20

20

20的数据也要开

l

o

n

g

long

long

l

o

n

g

long

long

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

ll n, ans, a[25];

int main ()
{
	scanf ("%lld", &n);
	a[2] = 1;
	for (int i = 3; i <= n; ++ i)
	 a[i] = (i - 1) * (a[i - 1] + a[i - 2]);
	printf ("%lld", a[n]);
	return 0;
}