CF482E ELCA

一、题目

点此看题

二、解法

题目的提示已经足够明显了吧，肯定是要写一个 \(\tt link-cut-tree\) 。我们只需要求出总和，再除以方案数就是期望。然后可以算每个点为 \(\tt lca\) 时的贡献。

但是要对子树搞点事情，而子树分为虚子树和实子树（看连接的是什么边），所以两类都要维护，实子树可以用 \(\tt push\_up\) 操作维护，虚子树要在变动父子关系的时候维护，有点麻烦。要维护下列信息：

• \(x\) 的虚子树大小（包括 \(x\) 这个点）：\(siz\)
• \(x\) 的子树中节点总个数：\(sum\)
• \(x\) 节点包括其子树中的每个点的答案和：\(ans\)
• \(x\) 子树内所有点的 \(siz\times a\) ：\(all\)
• \(x\) 所有虚子树的答案：\(ad\)
• \(x\) 所有虚子树 \(siz\) 的平方求和：\(de\)

虚子树的信息你肯定是会维护的，\(sum\) 和 \(ans\) 你肯定也会，我就来详细讲一讲 \(ans\) 怎么算，要分成四部分：

• 拿到其子树的答案：\(ans[ls]+ans[rs]+ad[x]\)
• 虚子树之间的贡献，也就是在 \(siz[x]\) 中乱选两个点，再把两点选在同一个子树中的方案给删掉：\((siz[x]\times siz[x]-de[x])\times a[x]\)
• 虚子树和实子树（\(x\) 的右儿子）之间的贡献，它们的 \(\tt lca\) 是 \(x\)：\(2\times a[x]\times siz[x]\times sum[ch[x][1]]\)
• \(x\) 的子树和 \(x\) 祖先的贡献（\(x\) 的左儿子），这个贡献由于 \(\tt splay\) 结构的原因没有被统计到，反正是求总和，我们把这个贡献放在 \(x\) 这里也没关系：\(2\times all[ch[x][0]]\times (sum[x]-sum[ch[x][0]])\)

然后因为要保证是有根树所以不能用 \(\tt makeroot\) 。那么 \(\tt link(x,y)\) 就把 \(x,y\) 都转到根然后连虚边，\(\tt cut\) 就把 \(x\) 转到根，\(y\) 转到 \(x\) 下面然后删虚边。在 \(\tt access,cut,link\) 的时候都要改虚子树的信息哦。

反正写的时候就是非常爽，非常爽。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 50005;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,a[M],siz[M],sum[M],ans[M];char s[10];
int fa[M],all[M],ad[M],de[M],ch[M][2],par[M];double r;
/*
siz[x]表示x的虚子树大小(包括x)
sum[x]表示x为根的子树节点个数
ans[x]表示x的答案
all[x]表示x子树内的siz[y]*a[y]
ad[x]表示x虚子树的答案
de[x]表示x的虚子树的sum的平方的和
*/
void up(int x)
{
	sum[x]=siz[x]+sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]];
	all[x]=all[ch[x][0]]+all[ch[x][1]]+a[x]*siz[x];
	ans[x]=ans[ch[x][0]]+ans[ch[x][1]]+ad[x]//第一部分,直接累加
	+a[x]*(siz[x]*siz[x]-de[x])//第二部分,虚子树的贡献
	+2*a[x]*sum[ch[x][1]]*siz[x]//第三部分,虚实之间的贡献,lca是x
	+2*all[ch[x][0]]*(sum[x]-sum[ch[x][0]]);//第四部分,把祖先的答案算到它上面
}
int nrt(int x)//判断是不是实边
{
	return ch[par[x]][0]==x || ch[par[x]][1]==x;
}
int chk(int x)//判断是哪个儿子
{
	return ch[par[x]][1]==x;
}
void rotate(int x)
{
	int y=par[x],z=par[y],k=chk(x),w=ch[x][k^1];
	ch[y][k]=w;par[w]=y;
	if(nrt(y)) ch[z][chk(y)]=x;par[x]=z;
	ch[x][k^1]=y;par[y]=x;
	up(y);up(x);
}
void splay(int x)//转到实链的最上面
{
	while(nrt(x))
	{
		int y=par[x];
		if(nrt(y))
		{
			if(chk(x)==chk(y)) rotate(y);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	for(int y=0;x;x=par[y=x])
	{
		splay(x);
		//先把ch[x][1]加进虚子树中
		siz[x]+=sum[ch[x][1]];
		ad[x]+=ans[ch[x][1]];
		de[x]+=sum[ch[x][1]]*sum[ch[x][1]];
		//再把y从虚子树中拿出来
		siz[x]-=sum[y];
		ad[x]-=ans[y];
		de[x]-=sum[y]*sum[y];
		ch[x][1]=y;up(x);
	}
}
void link(int x,int y)//把(x,y)连一条边,x是祖先
{
	access(y);
	splay(y);
	access(x);
	splay(x);
	par[y]=x;
	siz[x]+=sum[y];
	ad[x]+=ans[y];
	de[x]+=sum[y]*sum[y];
	up(x);
}
void cut(int x,int y)//把(x,y)这条边去掉,x是祖先
{
	access(x);
	splay(x);
	splay(y);
	par[y]=0;
	siz[x]-=sum[y];
	ad[x]-=ans[y];
	de[x]-=sum[y]*sum[y];
	up(x);
}
int check(int x,int y)//判断x是不是y的祖先
{
	access(y);
	splay(y);
	splay(x);
	return nrt(y);
}
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=2;i<=n;i++)
		fa[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=ans[i]=all[i]=read();
		siz[i]=sum[i]=1;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
		link(fa[i],i);
	m=read();
	access(1);
	splay(1);
	r=ans[1];
	printf("%.10lf\n",r/n/n);
	while(m--)
	{
		scanf("%s",s);
		int x=read(),y=read();double r=0;
		if(s[0]=='P')
		{
			if(check(x,y)) swap(x,y);
			cut(fa[x],x);
			fa[x]=y;
			link(fa[x],x);
			access(1);
			splay(1);
			r=ans[1];
		}
		else
		{
			access(x);
			splay(x);
			a[x]=y;
			up(x);
			r=ans[x];
		}
		printf("%.10lf\n",r/n/n);
	}
}