P6739 [BalticOI 2014 Day1] Three Friends 题解

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Solution
- 何为字符串哈希（可跳过）：
Code

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P6739 [BalticOI 2014 Day1] Three Friends

听说这题可以用比较暴力的做法过，比如 $string$ 里面自带的 $substr$ ，可以看这位大佬的提交记录

模数不要用 $49999$ ，会被卡， $1e9+9$ 才是真爱

Solution

何为字符串哈希（可跳过）：

由于字符串是具有前后关系的，可以按下述方法构造：

选取两个合适的互质常数 $b$ 和 $h (b < h)$，假设有一个字符串 $C = c_1c_2···c_m$，那么我们定义哈希函数：

\[H(C) = (c_1b^{m - 1} + c_2b^{m - 2} + ···+c_mb^{0}) \mod h
\]

考虑递推实现，设 $H(C, k)$ 为前 $k$ 个字符构成的字符串的哈希值，则：

\[H(C, k + 1) = H(C, k) \times b + c_{k + 1}
\]

通常，题目要求的是判断主串的一段字符与另一个匹配串是否匹配，即判断字符串 $C = c_1c_2···c_m$ 从位置 $k + 1$ 开始的长度为 $n$ 的子串 $C^{'} = c_{k + 1}c_{k + 2}···c_{k + n}$ 的哈希值与另一匹配串 $S = s_1s_2···s_n$ 的哈希值是否相等，则：

\[H(C_{'}) = H(C, k + n) - H(C, k) \times b^{n}
\]

只要预求得 $b^{n}$ ，就能 $O(1)$ 判断了

可以预处理出所有 $b^{n}$ 存在 $Pow$ 数组里

观察目标串 $U$ 的构造方式，发现如果 $N$ 是偶数，一定无法构造

然后考虑枚举删除每一个字符，再将剩下的字符串均分判断哈希值是否相等

假设删去的字符在前半段，那么后半段的一定是原字符串 $S$，如果在后半段，那么前半段一定是原字符串 $S$ ，

所以可以分开枚举，并且预处理出对应的原字符串

那么删掉一个字符后，剩下的两段怎么合并呢？以样例字符串为例：

\[ABXCABC
\]

假设枚举到 $X$

那么原字符串为 $ABC$，前面要合并的两段字符串是 $AB$，$C$

如果朴素计算这两个串的哈希值及原字符串哈希值，计算过程如下：

\[AB = A * b^{1} + B * b^{0}
\]

\[C = C * b^{0}
\]

\[ABC = A * b^{2} + B * b^{1} + C * b^{0}
\]

所以不难看出 $ABC = AB * b^{1} + C$

对这个结论进行推广，对于字符串 $X$，删掉其中一个字符后，分成两个字符串$X_1,X_2$，有

\[X = X_1 * b^{len_{X_2}} + X_2
\]

根据这个公式去进行合并，然后比较两个字符串哈希值是否相同

然后这就可以了吗？不不不

看这个样例

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AABCABCABCABC

我们会发现删掉第一个和第二个字符都可以，但得到的原串都是 $ABCABC$

所以注意开个map判重即可

如果还A不了，兄弟，改个模数试试吧

Code

/*

Work by: Suzt_ilymics

Knowledge: ??

Time: O(??)

*/

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<map>

#define LL long long

#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl

using namespace std;

const int MAXN = 2e6+10;

const int INF = 1;

const int mod = 1e9+9;

const int b = 7;

int len, cnt = 0;

char s[MAXN];

LL Pow[MAXN], Pow2, sum, H[MAXN], wz;

map<LL, LL> Map;

int read(){

	int s = 0, f = 0;

	char ch = getchar();

	while(!isdigit(ch))  f |= (ch == '-'), ch = getchar();

	while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();

	return f ? -s : s;

}

int main()

{

	len = read();

	if(len % 2 == 0) {

		printf("NOT POSSIBLE");

		return 0;

	}

	cin>>(s + 1);

//	for(int i = 1; i <= len; ++i) {

//		cout<<s[i]<<" ";

//	}

//	cout<<"\n";

	Pow[0] = 1;

	for(int i = 1; i <= len; ++i){

		Pow[i] = Pow[i - 1] * b % mod;

		H[i] = (H[i - 1] * b % mod + s[i]) % mod;

	}

	sum = (H[len] - H[len / 2 + 1] * Pow[len / 2] % mod + mod) % mod; //后半段的哈希值

	for(int i = 1; i <= len / 2 + 1; ++i){

		LL pre = H[i - 1] * Pow[len / 2 + 1 - i] % mod;//删掉枚举字符后的剩余字符串的哈希值

		if(Map[sum] == 0 && sum == (H[len / 2 + 1] - H[i] * Pow[len / 2 + 1 - i] % mod + pre + mod) % mod){//算出后面那一段并进行拼接

			cnt++;

			Map[sum]++;

			wz = i;

		}

	}

//	cout<<cnt<<"lkp\n";

	sum = H[len / 2];//前半段的哈希值

	for(int i = len / 2 + 2; i <= len; ++i){

		LL pre = (H[i - 1] - H[len / 2] * Pow[i - len / 2 - 1] % mod + mod) % mod * Pow[len - i] % mod;//删掉枚举字符后的剩余字符串的哈希值

		if(Map[sum] == 0 && sum == (H[len] - H[i] * Pow[len - i] % mod + pre + mod) % mod){//算出后面那一段并进行拼接

			cnt++;

			Map[sum]++;

			wz = i;

		}

	}

//	cout<<cnt<<"zsf\n";

	if(cnt == 0) printf("NOT POSSIBLE");

	else if(cnt == 1) {

		if(wz <= len / 2) for(int i = len / 2 + 2; i <= len; ++i) cout<<s[i];

		else for(int i = 1; i <= len / 2; ++i) cout<<s[i];

	}

	else printf("NOT UNIQUE");

	return 0;

}