【题解】P3631 [APIO2011]方格染色

很有意思的一道题，所以单独拿出来了。

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luogu

题意

有一个包含 \(n \times m\) 个方格的表格。要将其中的每个方格都染成红色或蓝色。表格中每个 \(2 \times 2\) 的方形区域都包含奇数个（ \(1\) 个或 \(3\) 个）红色方格。例如，下面是一个合法的表格染色方案（R 代表红色，B 代表蓝色）：

B B R B R
R B B B B
R R B R B

表格中的一些方格已经染上了颜色.求给剩下的表格染色，使得符合要求的方案数。

思路

每天一道压轴好题。 其实这题跟并查集没啥关系，只是用来维护而已

题意可以简化为：在 \(n\times m\) 的矩阵中放 01，k 个格子已经放好了，要放满，且每个 \(2\times 2\) 的格子中有奇数个1.

由题意可知，任意四个格子（二乘二）的异或值为 1，不断异或相邻的两个“矩形”的异或式子 （如：\(A\oplus B\oplus C\oplus D=C\oplus D\oplus E\oplus F=E\oplus F\oplus G\oplus H=1\)，选取相邻的式子得到 \(A\oplus B\oplus E\oplus F=0,A\oplus B\oplus G\oplus H=0\) )

由这个思路推广，设 \(A(1,1),B(2,1),C(1,j),D(i,1)\)

1. \(C,D\) 在奇数列上， \(A\oplus B\oplus C\oplus D=0,E\oplus F\oplus G\oplus H=0,=> A\oplus C\oplus F\oplus H=0,A\oplus H=C\oplus F.\)
2. \(C,D\) 在偶数列上。\(A\oplus B\oplus C\oplus D=1,E\oplus F\oplus G\oplus H=1.\) 此时，当 \(H\) 在偶数行，\(1\oplus A\oplus H=C\oplus F\) ；如果在奇数行，则有 \(A\oplus H=C\oplus F.\)

综上所述，对于任意 \(H(i,j):\)

如果 \(i|2,j|2\) ，那么 \(1\oplus (1,1)\oplus (i,j)=(1,j)\oplus (i,1)\) ；否则 \((1,1)\oplus (i,j)=(1,j)\oplus (i,1)\)

这样就转化为对 \((1,j),(i,1)\) 的约束。如果 \((1,1)\) 没有给出，那么就要枚举两种情况。

用并查集维护。\(x\oplus y=0\) 时，合并 \((x,y),(x',y')\) ；否则合并 \((x,y'),(x',y)\)。无解特判就是 \(x,x'\in S\) （属于同一个集合）

合并完成之后得到连通块个数 \(sum\) ，枚举所有已知点（注意 \((1,1)\) 不算），去掉他们的连通块，剩下的就是未知个数，\(2^{sum'}\) 即为方案。把 \((1,1)\) 的两种情况相加即可。

注意：此题由于有虚点（ \(x',y'\) ），所以空间要两倍。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9,N=2e5+10;
int n,m,k,x[N],y[N],z[N],fa[N],g[N];

ll power( ll a,ll b )
{
        ll res=1;
        for ( ; b; b>>=1,a=a*a%mod )
                if ( b&1 ) res=res*a%mod;
        return res;
}

int find( int x )
{
        if ( x==fa[x] ) return x;
        int fat=find( fa[x] ); g[x]^=g[fa[x]];
        return fa[x]=fat;
}

int calc( int opt )
{
        for ( int i=1; i<=n+m; i++ )
                fa[i]=i,g[i]=0;
        fa[n+1]=1;
        if ( opt==1 )
                for ( int i=1; i<=k; i++ )
                        if ( x[i]>1 && y[i]>1 ) z[i]^=1;
        for ( int i=1; i<=k; i++ )
        {
                int x=:: x[i],y=:: y[i],z=:: z[i];
                if ( x!=1 || y!=1 )
                {
                        int fx=find(x),fy=find(y+n),ty=g[x]^g[n+y]^z;
                        if ( fx!=fy ) fa[fy]=fx,g[fy]=ty;
                        else if ( ty ) return 0;
                }
        }
        int res=0;
        for ( int i=1; i<=n+m; i++ )
                if ( i==find(i) ) res++;
        return power( 2,res-1 );
}

int main()
{
        scanf( "%d%d%d",&n,&m,&k );
        int flag=-1;
        for ( int i=1; i<=k; i++ )
        {
                scanf( "%d%d%d",&x[i],&y[i],&z[i] );
                if ( (!(x[i]&1)) && (!(y[i]&1)) ) z[i]^=1;
                if ( x[i]==1 && y[i]==1 ) flag=z[i];
        }

        if ( flag!=-1 ) printf( "%d\n",calc( flag ) );
        else printf( "%d\n",(calc(0)+calc(1))%mod );
}