2017提高组D1T1 洛谷P3951 小凯的疑惑

洛谷P3951 小凯的疑惑

原题

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

输入输出格式

输入格式：

两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。

输出格式：

一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

输入输出样例

输入样例#1：

3 7

输出样例#1：

11

说明

【输入输出样例 1 说明】

小凯手中有面值为3和7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为1,2,4,5,8,11 的物品，其中最贵的物品价值为 11，比11 贵的物品都能买到，比如：

【数据范围与约定】

---

小学奥数法

运用公式a*x+b*y=k，max(k)=a*b-a-b

我对小奥一窍不通，更别说什么同余那些东西了

我的理解：假设两种钱每种最少要拿一次（也就是不能不拿），不能凑成的最小钱数为k，因为a和b互质，显然,k = a * b，(当k = a * b 时，由于ab互质，要么a拿b个，要么b拿a个)。 由于a和b可以一样都不拿，所以ans = k - a - b = a * b - a - b吧。。。

感觉貌似有那么点道理

2019-07-16 21:05:54更新

今天我在回顾博客园时，问了大佬一个问题：我写的对了吗？

突然自己都发现有问题

原本的题解，貌似是当时看懂了一位大佬后，照搬过来的呢。。。

有点bug，比如说k的定义？

不能凑成的最小钱数为k

既然不能凑成，那么哪来的k=a*b？

所以，旧东西有些是要检查，然后舍弃的呢！

看看能不能开学后问问老板吧

更新完毕

不过还是看具体公式推导吧

其实，这道题目是一道数学定理——赛瓦维斯特定理：已知a,b为大于1的正整数，(a,b)=,则使不定方程ax+by=Cax+by=C无负整数解的最大整数C=ab−a−bC=ab−a−b！

证明：
若存在x,y>=0x,y>=0满足 ax+by=ab−a−bax+by=ab−a−b 则a(x+)+b(y+)=aba(x+)+b(y+)=ab
于是a|(y+)a|(y+),b|(x+)b|(x+)
(a(x+)=b(a−y−)a(x+)=b(a−y−)，有 a,b互质，所以b|(x+)b|(x+)。a|(y+)a|(y+)同理）
又x+>=,y+>=1x+>=,y+>=
故a(x+)+b(y+)>=a∗b+b∗a=2aba(x+)+b(y+)>=a∗b+b∗a=2ab (因为b|(x+)b|(x+),所以b<=x+1b<=x+,同理a<=y+1a<=y+)
但是在上述假设中我们知道a(x+)+b(y+)=aba(x+)+b(y+)=ab,a>=,b>=0a>=,b>=
所以假设不成立，即不存在x,y>=0x,y>=,满足 ax+by=ab−a−bax+by=ab−a−b

对于任意正整数C>=ab−a−b+1C>=ab−a−b+，即C+a+b>=ab+1C+a+b>=ab+
设C+a+b=ka+m(k>=b,<=m<=a−)C+a+b=ka+m(k>=b,<=m<=a−)
注意到(a,b)=
由裴蜀定理，知存在x0,y0∈Zx0,y0∈Z，使得ax0+by0=1ax0+by0=
故存在x1,y1∈Z，−(b−)<=x1<=−1x1,y1∈Z，−(b−)<=x1<=−
使得ax1+by1=max1+by1=m
(解释一下，这里的意思其实是设−(b−)<=x1<=−−(b−)<=x1<=−，一定存在整数y1y1使得ax1+by1=max1+by1=m成立。原因就是在整数x1x1的取值中一共有b−1b−1个数，y1=(m−ax1)/by1=(m−ax1)/b，总是可以找到x1x1使得m−ax1m−ax1能被b整除）
显然，y1>=(ax1<,m>,b>0y1>=(ax1<,m>,b>，因此y1>=1y1>=)
于是，取x=k+x1−,y=y1−1x=k+x1−,y=y1−
注意到x1,y1x1,y1的取值范围，得x,y>=0x,y>=
得ax+by=Cax+by=C
所以任意C>=ab−a−b+1C>=ab−a−b+1都存在x,y>=0x,y>=,ax+by=Cax+by=C
证毕

具体公式推导　　

　代码如下：　

 //AC
 //luoguP3951小凯的疑惑
 #include<iostream>
 using namespace std;
 int main()
 {
     long long a,b;
     cin>>a>>b;
     cout<<a*b-a-b;
     return ;
 }

---

暴力法

简单粗暴的枚举，但是枚举量无疑是巨大的。每个枚举量的最大值都是a*b(根据上面推理的公式，且题目中给出a，b互质，说明结果一定会小于a*b)。逐一舍去可以被表示出来的数字（赋予1），最后再倒序从a*b-1开始输出第一个为零的数字

还有地方需优化

 //60分
 //luoguP3951小凯的疑惑
 #include<iostream>
 using namespace std;
 bool number[];
 int main()
 {
     long long a,b;
     cin>>a>>b;
     for(long long i=;i*a<a*b;i++)
         for(unsigned long long j=;j*b<a*b;j++)
         {
             if(i*a+j*b>a*b) break;
             number[i*a+j*b]=;
         }
     for(long long i=a*b-;i>;i--)
         if(number[i]==) {cout<<i;break;}
     return ;

 }

暴力法

之后，我下载了#13测试数据：66650775 6074462

对应的答案：404867527282813

你就知道为什么会不能通过了——超时

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第三种方法

被启发 by 我的好室友NLH

因为对于每一个可以得到的商品的价格，再加上a或b，小凯也可以买到。那么每一个数字就有两种选择，直到数字超过了a*b。

不过，想法十分巧妙效果一般

还有地方需改进

 //30分
 //luoguP3951小凯的疑惑
 #include<iostream>
 using namespace std;
 unsigned long long a,b;
 bool number[];
 void function(unsigned long long one){
     if(one>a*b) return;
     number[one]=;
     //cout<<one<<endl;//倘若你输出每一次的one值，你就可以看到效率是多么的低。。。
     function(one+a);
     function(one+b);
 }
 int main()
 {
     cin>>a>>b;
     function();
     for(unsigned long long i=a*b-;i>;i--)
         if(number[i]==) {cout<<i;break;}
     return ;
 }

第三种方法

---

总结

总而言之，还是第一种方法好，没有任何的循环等等。。。

但它也是最难理解的一种。

做这种题时，要好好想想有没有更简单的方法，其次是数学基本功底要好。

再接再厉！

好的，那就先这么草率的结束了吧！