【JZOJ4744】【NOIP2016提高A组模拟9.2】同余

题目描述

输入

输出

样例输入

5 2

1 5 2 3 7

1 3 2 1

2 5 3 0

样例输出

2

1

数据范围

解法

题目允许离线，且没有修改操作。

考虑把一个询问拆分成两个形如”a b c”的询问，表示1~a这些数中mod b余c有多少个。

使用扫描线，把元素加入一个桶tong里面去。①

对于一个询问”a b c”，那么答案就是tong[c+kb] (k|c+kb<=10000)。

当b>=100时，询问答案最多耗时O(100)；

当b<100时，询问答案最多耗时O(10000)，考虑到b比较小，所以在①处额外维护一个二维桶xt[][]，xt[i][j]表示模数为i，余数为j的个数有多少个。

于是询问变成O(1)。

总的时间复杂度为O(n*maxa^0.5)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))
using namespace std;
const char* fin="aP3.in";
const char* fout="aP3.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=100007,maxa=10007,mina=107,maxv=maxn*2;
int n,m,i,j,k,l,o,tot,maxx,minx;
int a[maxn];
int ans[maxn][2];
int tong[maxa],xt[mina][mina];
struct visit{
    int en,p,q,id,tp;
    void init(int a,int b,int c,int d,int e){
        en=a;p=b;q=c;id=d;tp=e;
    }
    void work(){
        int i,j,k;
        if (p>minx) for (j=q;j<=maxx;j+=p) ans[id][tp]+=tong[j];
        else ans[id][tp]=xt[p][q];
    }
}b[maxv];
bool cmp(visit i,visit j){
    return i.en<j.en;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        maxx=max(maxx,a[i]);
    }
    maxx=10000;
    minx=int(sqrt(maxx));
    for (i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d%d",&j,&k,&l,&o);
        if (j>1) b[++tot].init(j-1,l,o,i,0);
        b[++tot].init(k,l,o,i,1);
    }
    sort(b+1,b+tot+1,cmp);
    k=1;
    for (i=1;i<=n;i++){
        tong[a[i]]++;
        for (j=1;j<=minx;j++) xt[j][a[i]%j]++;
        while (k<=tot && b[k].en==i) b[k++].work();
    }
    for (i=1;i<=m;i++){
        j=ans[i][1]-ans[i][0];
        printf("%d\n",j);
    }
    return 0;
}

启发

本题关键有两处，①是询问离线且没有修改，②是maxa<=10000；

①使得问题可以转化为简单的子问题；

②使得可以分类讨论来进行优化。

日后额外注意形如上述性质。