@NOIP2018 - D1T2@ 货币系统

@题目描述@
@题解@
@代码@

@题目描述@

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1..n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出

输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

输入样例#1

2

4

3 19 10 6

5

11 29 13 19 17

输出样例#1

2

5

输入输出样例 1说明

在第一组数据中，货币系统 (2, [3,10]) 和给出的货币系统 (n,a) 等价，并可以验证不存在 m < 2 的等价的货币系统，因此答案为 2。在第二组数据中，可以验证不存在 m < n 的等价的货币系统，因此答案为 5。

@题解@

一个结论性的题目……吧。

首先手推一下，发现新货币系统中的最小值 $m'$ 一定等于原来的货币系统中的最小值 $m$。如果大于，则新货币系统无法表达 $m$；如果小于，则原货币系统无法表达 $m'$。

然后我们递归性地猜想：假如我去掉了这个最小值以及最小值能表达的数（因为新货币系统里面如果再有这些数就不够优秀了），那么再选择最小值是否也一定是最优的？

仿照上面的证明可以发现这个推论是正确的。

因此我们就可以得到我们的算法：

（1）找到原货币系统当前的最小值，加入新货币系统。

（2）在原货币系统中删除新货币系统能表达的数。

循环（1），（2）直到原货币系统没有任何数。

我们实现上可以不按这么写。我们可以从小到大枚举原货币系统中的数，判断它能否被新货币系统表达。能则跳过；不能则更新新货币系统。

判断以及更新可以用完全背包来做。

@代码@

应该说，这道题算是一道简单题。只是需要你去推导一些东西 qwq。

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 100;

const int MAXM = 25000;

bool dp[MAXM + 5];

int a[MAXN + 5];

void solve() {

    int n, m = 0, lim = 0;

    scanf("%d", &n);

    for(int i=1;i<=n;i++) {

        scanf("%d", &a[i]);

        lim = max(lim, a[i]);

    }

    for(int i=0;i<=lim;i++)

        dp[i] = false;

    sort(a+1, a+n+1); dp[0] = true;

    for(int i=1;i<=n;i++) {

        if( !dp[a[i]] ) {

            for(int j=a[i];j<=lim;j++)

                dp[j] |= dp[j-a[i]];

            m++;

        }

    }

    printf("%d\n", m);

}

int main() {

    int T;

    scanf("%d", &T);

    for(int i=1;i<=T;i++)

        solve();

    return 0;

}