【期望DP】[zoj3329]One Person Game

题描：

有三个均匀的骰子，分别有k1,k2,k3个面，初始分数是0，
当掷三个骰子的点数分别为a,b,c的时候，分数清零，否则分数加上三个骰子的点数和，
当分数>n的时候结束。求需要掷骰子的次数的期望。

令f[i]为当前三个骰子点数和为i时掷骰子期望次数

则易有：(逆推)

$$f[i]=\sum({p[k]*f[i+k]})+f[0]*P_0+1$$

然而这是逆推...

咱并不知道$f[0]$的值

凉了

吗？

注意到求$f[i]$时跟它有关的所有f[k]中只有f[0]是未知的，那我们就把这玩意儿当做未知数

列方程：

令$f[i]=A_i*f[0]+B_i$(①),则有：

$$f[i+k]=A_{i+k}*f[0]+B_{i+k}$$

代入①式有：

$$f[i]=\sum[p[k]*(A_{i+k}*f[0]+B_{i+k})]+f[0]*P_0+1$$

(②)

(p[k]表示三个骰子掷出和为k时的概率)

变形得：

$$f[i]=[\sum(p[k]*A_{i+k})+P_0]*f[0]+\sum(p[k]*B_{i+k})+1$$

（③）

这样就能发现③式与①式的形式已经大致相同了.

综上：

$$A_i= \sum(p[k]*A_{i+k})+P_0$$

$$B_i=\sum(p[k]*B_{i+k})+1$$

令：$i=0$

有：

$$f[0]=A_0*f[0]+B_0$$

综上：$$f[0]=\frac{B_0}{1-A_0}$$

而f[0]就是我们最后要求的答案

所以我们只需要求a[]和b[]就可以啦

 #include<bits/stdc++.h>
 #define writeln(x)  write(x),puts("")
 #define writep(x)   write(x),putchar(' ')
 using namespace std;
 inline int read(){
     int ans=,f=;char chr=getchar();
     while(!isdigit(chr)){if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr)){ans=(ans<<)+(ans<<)+chr-;chr=getchar();}
     return ans*f;
 }void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }const int M = ;
 int k[M],q[M],n;
 double P,p[M],a[M],b[M];
 inline void Clear_All(){memset(a,,sizeof(a)),memset(b,,sizeof(b)),memset(p,,sizeof(p));}
 int main(){
     int T=read();
     while(Clear_All(),T--){
         n=read();
         for(int i=;i<=;i++) k[i]=read();
         for(int i=;i<=;i++) q[i]=read();
         P=1.0/(k[]*k[]*k[]);
         for(int i=;i<=k[];i++)
             for(int j=;j<=k[];j++)
                 for(int w=;w<=k[];w++)
                     if(i!=q[]||j!=q[]||w!=q[])
                         p[i+j+w]+=P;
         for(int i=n;i>=;i--){
             a[i]=P,b[i]=;
             for(int j=;j<=k[]+k[]+k[];j++)
                 a[i]+=a[i+j]*p[j],b[i]+=p[j]*b[i+j];
         }printf("%.15lf\n",b[]/(-a[]));
     }return ;
 }