2017 ACM-ICPC亚洲区域赛北京站J题 Pangu and Stones 题解区间DP

题目链接：http://www.hihocoder.com/problemset/problem/1636

题目描述

在中国古代神话中，盘古是时间第一个人并且开天辟地，它从混沌中醒来并把混沌分为天地。

刚开始地上是没有山的，只有满地的石头。

这里有 $N$ 堆石头，标号为从 $1$ 到 $N$ 。盘古想要把它们合成一堆建造一座大山。如果某些堆石头的数量总和是 $S$ ，盘古需要 $S$ 秒才能把它们合成一堆，这新的一堆石头的数量就是 $S$ 。

不幸的是，每一次盘古只能把连续的 $L$ 到 $R$ 堆石头合并成一堆。

盘古希望尽快把所有石头合成一堆。

你能帮帮他吗？如果没有解，则输出 $0$ 。

解题思路

可以把合并所有石头的过程拆分成几个子步骤，首先合并连续的一些，然后再合并连续的一些，大区间的结果可以由小区间推出，所以就从小区间开始考虑，逐步推向大区间，可以用 dp[i][j][k] 表示区间 [i,j] 分成 k 堆得最小代价，对于固定的一个区间，肯定是取所有情况的最小值，最后答案是 dp[1][n][1] ，注意边界处理，包括刚开始的初始化。

然后就是代码处理中的一些细节了。

首先将所有的 f[i][j][k] 置为 INF 。

然后对于所有的初始状态（即 f[i][j][j-i+1] ）都置为 $0$ 。

因为区间 $[i,j]$ 内本身就有 $j-i+1$ 个元素，所以这些元素本身就这么多堆，是不需要花费代价去划分的。这就是我所说的初始状态。

然后就是合并区间了，区间合并一般都是小区间开始合并到大区间，我们这里也不例外（记忆化搜索的话就得反着来了）。

对于一个区间 $[l,r]$ ，它要么是直接合并成一对，要么是若干个区间拼接到一起。所以我们这里分情况讨论：

直接合并

如果区间 $[l,r]$ 直接合并，那么合并成一对的最小代价应该是 $f[l][r][1]$ 。

那么对于区间 $[l,r]$ ，我一定可以将其查分成两个区间 $[l,i]$ 和 $[i+1,r]$ ，其中坐区间有 $j$ 个元素，右区间有 $1$ 个元素，并且满足 $L \le j+1 \le R$ 。

于是我们可以从 $l \sim r-1$ 枚举 $i$ ，从 $L-1 \sim R-1$ 枚举 $j$ ，

则 $f[l][r][1] = \min(f[l][i][j]+f[i+1][r][1]) + sum[r] - sum[l-1]$ 。（这里 $sum[r] - sum[l-1]$ 表示区间 $[l,r]$ 范围内的石子数量之和）

区间拼接

这里讲的区间拼接其实就是对于两个区间 $[l,j]$ 和 $[j+1,r]$ ，假设他们分别有 $i-1$ 堆和 $1$ 堆石子，那么这个区间总共有 $i$ 堆石子。

区间拼接就不需要考虑合并了。

所以对于区间 $[l,r]$ 包含 $i$ 堆石子的情况，它对应状态 $f[l][r][i]$ ，那么它总能拆分成两个状态（$f[l][j][i-1]$ 和 $f[j+1][r][1]$ ，其中 $l \le j \lt r$）的拼接。

可以推导出状态转移方程为： $f[l][r][i] = min(f[l][j][i-1] + f[j+1][r][1])$ ，其中 $2 \le i \le len,l \le j \lt r$ 。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define INF (1<<29)

const int maxn = 110;

int n, L, R, a[maxn], sum[maxn], f[maxn][maxn][maxn];

int main() {

    while (~scanf("%d%d%d", &n, &L, &R)) {

        for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", a+i);

        for (int i = 1; i <= n; i ++) sum[i] = sum[i-1] + a[i];

        for (int i = 1; i <= n; i ++) for (int j = 1; j <= n; j ++) for (int k = 1; k <= n; k ++) f[i][j][k] = INF;

        for (int l = 1; l <= n; l ++) for (int r = l; r <= n; r ++) f[l][r][r-l+1] = 0;

        for (int len = 1; len <= n; len ++) {

            for (int l = 1; l+len-1 <= n; l ++) {

                int r = l+len-1;

                for (int i = l; i < r; i ++) {

                    for (int j = L-1; j < R; j ++) {

                        f[l][r][1] = min(f[l][r][1], f[l][i][j] + f[i+1][r][1] + sum[r] - sum[l-1]);

                    }

                }

                for (int i = 2; i < len; i ++) {

                    for (int j = l; j < r; j ++) {

                        f[l][r][i] = min(f[l][r][i], f[l][j][i-1] + f[j+1][r][1]);

                    }

                }

            }

        }

        if (f[1][n][1] == INF) puts("0");

        else printf("%d\n", f[1][n][1]);

    }

    return 0;

}