▶ 异或运算 "^" 具有的部分性质:

● 交换律,结合律

● a ^ b == (!a & b) | (a & !b),a ^ 1 == !a,a ^ 0 == a,a ^ a == 0,a ^ !a == 1,

● RAID 5 的理解:写入时,数据 A 写入硬盘 0, 数据 B 写入硬盘 1,数据 A^B 写入硬盘 2;读取时,数据 A 可用硬盘 1 和硬盘 2 的数据 B^C 进行验校或恢复

▶ 使用异或运算找非重复元素的方法,参考【https://blog.csdn.net/u013609078/article/details/51622077】,但是原文写的像屎一样,很多说法连良定义都没有

●(1)整型数组中有 1 个元素只出现一次,其他数字都出现两次,要求找出这个数字

  ■ 把所有元素进行规约异或即可

●(2)整型数组中有 2 个元素只出现一次,其他数字都出现两次,要求找出这个数字

  ■ 核心思想是利用两元素的差异(二进制表示中从低位到高位首个不同的位)作为条件来构造子列,把所有与 b 具有相同条件的元素去掉,在该子列中找 a 就等价于问题(1)

  ■ 找出 a 后 b = (a ^ b) ^ a

  ■ 代码

 #include <iostream>
#include <vector>
#include <cassert> using namespace std; inline int getLastOneBit(int num) // 求 num 最低 "1" 位,返回值有且仅有一位为 1,特例输入 0 返回 0
{
return num & ~(num - );
} vector<int> findTwo(vector<int> & haha)
{
int ab = ;
for (int i = ; i < haha.size(); i++) // 第一轮得到 a ^ b,用 ab 来表示
ab ^= haha[i];
assert(ab != ); // 保证 a != b
int lastOneBit = getLastOneBit(ab); // 取 ab 的最低 "1" 位(定义为从低位到高位,首个至少有一个值为 1 的位),即 a 和 b 二进制表示中从低位到高位首个不同的位
// 如 ab = 01100100,则 lastOneBit = 00000100,可能的情况 a = ...100,b = ...000
int a = ;
for (int i = ; i < haha.size(); i++) // 不妨设 a 在 lastOneBit 位上为 1,第二轮取所有该位为 1 的元素作为子列进行异或运算,重复元素不影响结果
{
if (haha[i] & lastOneBit)
a ^= haha[i];
}
int b = ab ^ a;
cout << "findTwo -> a: " << a << ", b: " << b << endl;
return vector<int>({ a, b });
} int main()
{
vector<int> haha = { , , , , , , , };
vector<int> result = findTwo(haha); cout << "result -> a: " << result[] << ", b: " << result[] << endl;
return ;
}

  ■ 输出结果

findTwo -> a: , b:
result -> a: , b:

●(3)整型数组中有 3 个元素只出现一次,其他数字都出现两次,要求找出这个数字

  ■ 引理:若x ^ y ^ z == 0,则 x,y,z 最低 "1" 位有且仅有两个数为 1,如 x == 00001000,y == 00000100,z == 00001100 满足该式

   证明:3 个数的最低 "1" 位四种情况:

     ① 全相同,该位 1 ^ 1 ^ 1 == 1;

     ② 全不同,该位 1 ^ 0 ^ 0 == 1;

     ③ 两个 0 一个 1,该位 1 ^ 0 ^ 0 == 1;

     ④ 两个 1 一个 0,该位 1 ^ 1 ^ 0 == 0,仅这种情况满足上式

  ■ 注意到恒等式 (a ^ b) ^ (a ^ c) ^ (b ^ c) == ((a^b^c) ^ c) ^ ((a^b^c) ^ b) ^ ((a^b^c) ^ a) == 0,所以 (a ^ b),(a ^ c),(b ^ c) 三个数的的最低 "1" 位有且仅有两个 1,

   不妨设 (a ^ c) 和 (b ^ c) 该位为 1,(a ^ b) 的该位为 0,则 (a ^ c) 与 (b ^ c) 的最低 "1" 位相同,且 (a ^ b) 的最低 "1" 位不同,

   于是 getLastOneBit(a ^ c) ^ getLastOneBit(b ^ c) ^ getLastOneBit(a ^ b) == getLastOneBit(a ^ b),干掉了最低 "1" 位相同的那两个,

   类似问题(2),我们构造原数组的一个子列,筛选出原数组中满足 getLastOneBit((a^b^c) ^ x) == getLastOneBit(a ^ b) 的那些元素 x,

     ① 若 x 是重复元素,则 x 会在子列中出现零次或两次,不影响异或的结果;

     ② 若 x == a || x == b,则上述等式不成立,x 不在子列中;

     ③ 若 x == c,则上述等式成立,x 在子列中

   所以在该子列中找 c 就等价于问题(1),然后把找到的 c 添加到原数组末尾(相当于新子列中 c 为重复元素),在该新数组中找 a 和 b 就等价于问题(2)

  ■ 代码

 #include <iostream>
#include <vector>
#include <cassert> using namespace std; inline int getLastOneBit(int num)
{
return num & ~(num - );
} vector<int> findTwo(vector<int> & haha)
{
int ab = ;
for (int i = ; i < haha.size(); i++)
ab ^= haha[i];
assert(ab != );
int lastOneBit = getLastOneBit(ab); int a = ;
for (int i = ; i < haha.size(); ++i)
{
if (haha[i] & lastOneBit)
a ^= haha[i];
}
int b = ab ^ a;
cout << "findTwo -> a: " << a << ", b: " << b << endl;
return vector<int>({ a, b });
} int findOne(vector<int> & haha)
{
int abc = ;
for (int i = ; i < haha.size(); i++) // 第一轮得到 a ^ b ^ c,用 abc 表示
abc ^= haha[i]; int lastOneBit = ;
for (int i = ; i < haha.size(); i++) // 第二轮得到 getLastOneBit(a ^ b) ^ getLastOneBit(a ^ c) ^ getLastOneBit(b ^ c),成对元素不影响结果
lastOneBit ^= getLastOneBit(abc ^ haha[i]);
//lastOneBit = getLastOneBit(lastOneBit); // 原博客中有这句,实际不需要 int c = ;
for (int i = ; i < haha.size(); i++) // 第三轮选出所有最低 "1" 位与 lastOneBit 相同的元素(a 和 b 肯定不在里边),用异或找出 c
{
if (getLastOneBit(abc ^ haha[i]) == lastOneBit)
c ^= haha[i];
}
cout << "findOne -> c: " << c << endl;
return c;
}
int main()
{
vector<int> haha = { , , , , , , , , };
int c = findOne(haha); // 先找出一个非重复的元素
haha.push_back(c); // 将找到的元素添加到原数组末尾,相当于去掉了这个非重复元素
vector<int> result = findTwo(haha); // 寻找剩余两个非重复元素
result.push_back(c); cout << "result -> a: " << result[] << ", b: " << result[] << ", c: " << result[] << endl;
return ;
}

  ■ 输出结果

findOne -> c:
findTwo -> a: , b:
result -> a: , b: , c:

▶ 格雷码与普通二进制码相互转换。证明使用中括号记法,考虑结果每一位来源于 bin 的哪几位的计算

 gray = bin ^ (bin >> )
bin = gray ^ (gray >> )

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