Ternsorflow 学习：004-MNIST入门构建模型

Softmax回归介绍

我们知道MNIST的每一张图片都表示一个数字，从0到9。我们希望得到给定图片代表每个数字的概率。比如说，我们的模型可能推测一张包含9的图片代表数字9的概率是80%但是判断它是8的概率是5%（因为8和9都有上半部分的小圆），然后给予它代表其他数字的概率更小的值。

这是一个使用softmax回归（softmax regression）模型的经典案例。softmax模型可以用来给不同的对象分配概率。当以后我们训练更加精细的模型时，最后一步也需要用softmax来分配概率。

在机器学习尤其是深度学习中，softmax是个非常常用而且比较重要的函数，尤其在多分类的场景中使用广泛。

原理：将一些输入映射为0-1之间的实数，并且归一化保证和为1，因此多分类的概率之和也刚好为1。softmax设计的初衷，是希望特征对概率的影响是乘性的。

首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义，softmax由两个单词组成，其中一个是max。

对于max我们都很熟悉，比如有两个变量a,b。如果a>b，则max为a，反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b。

另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢？如果将max看成一个分类问题，就是非黑即白，最后的输出是一个确定的变量。

更多的时候，我们希望输出的是取到某个分类的概率，或者说，我们希望分值大的那一项被经常取到，而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到，所以我们就应用到了soft的概念，即最后的输出是每个分类被取到的概率。

softmax回归（softmax regression）分两步：

首先对输入被分类对象属于某个类的 “证据”相加求和，然后将这个“证据”的和转化为概率。

第一步：证据计算。

为了得到一张给定图片属于某个特定数字类的证据（evidence），我们对图片像素值进行加权求和。如果这个像素具有很强的证据说明这张图片不属于该类，那么相应的权值为负数，相反如果这个像素拥有有利的证据支持这张图片属于这个类，那么权值是正数。

下面的图片显示了一个模型学习到的图片上每个像素对于特定数字类的权值。红色代表负数权值，蓝色代表正数权值。

第二步：转换概率。

我们也需要加入一个额外的偏置量（bias），因为输入往往会带有一些无关的干扰量。因此对于给定的输入图片 x 它代表的是数字 i 的证据可以表示为：

\[evidence_i =\sum_j{{w_i,_j}x_j+b_i}
\]

其中 Wi代表权重，bi 代表数字 i 类的偏置量，j 代表给定图片 x 的像素索引用于像素求和。然后用softmax函数可以把这些证据转换成概率 y：

\[y = softmax(evidence)
\]

这里的softmax可以看成是一个激励（activation）函数或者链接（link）函数，把我们定义的线性函数的输出转换成我们想要的格式，也就是关于10个数字类的概率分布。因此，给定一张图片，它对于每一个数字的吻合度可以被softmax函数转换成为一个概率值。softmax函数可以定义为：

\[softmax(x) = normalize(exp(x))
\]

展开等式右边的子式，可以得到：

\[softmax(x) = \frac{exp(x_i)}{\sum_j{exp(x_j)}}
\]

但是更多的时候把softmax模型函数定义为前一种形式：把输入值当成幂指数求值，再正则化这些结果值。这个幂运算表示，更大的证据对应更大的假设模型（hypothesis）里面的乘数权重值。反之，拥有更少的证据意味着在假设模型里面拥有更小的乘数系数。假设模型里的权值不可以是0值或者负值。Softmax然后会正则化这些权重值，使它们的总和等于1，以此构造一个有效的概率分布。（更多的关于Softmax函数的信息，可以参考Michael Nieslen的书里面的这个部分，其中有关于softmax的可交互式的可视化解释。）

对于softmax回归模型可以用下面的图解释，对于输入的xs加权求和，再分别加上一个偏置量，最后再输入到softmax函数中：

如果把它写成一个等式，我们可以得到：

\[\left[
\begin{matrix}
y_1 \\y_2 \\y_3
\end{matrix} \right] =softmax\left(\begin{matrix}
W_{1,1}x_1+W_{1,2}x_1 +w_{1,3}x_1+b_1 \\
W_{2,1}x_2+W_{2,2}x_2 +w_{2,3}x_2+b_2 \\
W_{3,1}x_3+W_{3,2}x_3 +w_{3,3}x_3+b_3
\end{matrix}\right)
\]

我们也可以用向量表示这个计算过程：用矩阵乘法和向量相加。这有助于提高计算效率。（也是一种更有效的思考方式）

\[\left[ \begin{matrix}
y_1 \\y_2 \\ y_3
\end{matrix} \right] =softmax\left(
\left[\begin{matrix}
W_{1,1}W_{1,2}W_{1,3} \\W_{2,1}W_{2,2}W_{2,3}\\ W_{3,1}W_{3,2}W_{3,3}
\end{matrix}\right]
\cdot
\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{matrix}\right]
+
\left[\begin{matrix}b_1 \\b_2 \\b_3 \end{matrix}\right]
\right)
\]

更进一步，可以写成更加紧凑的方式：

\[y = softmax(w_x+b)
\]

实现回归模型

为了用python实现高效的数值计算，我们通常会使用函数库，比如NumPy，会把类似矩阵乘法这样的复杂运算使用其他外部语言实现。不幸的是，从外部计算切换回Python的每一个操作，仍然是一个很大的开销。如果你用GPU来进行外部计算，这样的开销会更大。用分布式的计算方式，也会花费更多的资源用来传输数据。

TensorFlow也把复杂计算放在python之外完成，但为了避免前面说的那些开销，它做了进一步完善：Tensorflow不单独运行单一的复杂计算，而是让我们可以先用图描述一系列可交互的计算操作，然后全部一起在Python之外运行。

这样类似的运行方式，可以在不少的机器学习库中看到。

使用TensorFlow之前，首先导入它：

import tensorflow as tf

我们通过操作符号变量来描述这些可交互的操作单元，可以用下面的方式创建一个：

x = tf.placeholder("float", [None, 784])

x不是一个特定的值，而是一个占位符placeholder，我们在TensorFlow运行计算时输入这个值。我们希望能够输入任意数量的MNIST图像，每一张图展平成784维的向量。我们用2维的浮点数张量来表示这些图，这个张量的形状是[None，784 ]。（这里的None表示此张量的第一个维度可以是任何长度的。）

我们的模型也需要权重值和偏置量，当然我们可以把它们当做是另外的输入（使用占位符），但TensorFlow有一个更好的方法来表示它们：Variable 。一个Variable代表一个可修改的张量，存在在TensorFlow的用于描述交互性操作的图中。它们可以用于计算输入值，也可以在计算中被修改。对于各种机器学习应用，一般都会有模型参数，可以用Variable表示。

W = tf.Variable(tf.zeros([784,10]))

b = tf.Variable(tf.zeros([10]))

我们赋予tf.Variable不同的初值来创建不同的Variable：在这里，我们都用全为零的张量来初始化W和b。因为我们要学习W和b的值，它们的初值可以随意设置。

注意，W的维度是[784，10]，因为我们想要用784维的图片向量乘以它以得到一个10维的证据值向量，每一位对应不同数字类。b的形状是[10]，所以我们可以直接把它加到输出上面。

现在，我们可以实现我们的模型啦。只需要一行代码！

y = tf.nn.softmax(tf.matmul(x,W) + b)

首先，我们用tf.matmul(X，W)表示x乘以W，对应之前等式里面的Wx，这里x是一个2维张量拥有多个输入。然后再加上b，把和输入到tf.nn.softmax函数里面。

至此，我们先用了几行简短的代码来设置变量，然后只用了一行代码来定义我们的模型。TensorFlow不仅仅可以使softmax回归模型计算变得特别简单，它也用这种非常灵活的方式来描述其他各种数值计算，从机器学习模型对物理学模拟仿真模型。一旦被定义好之后，我们的模型就可以在不同的设备上运行：计算机的CPU，GPU，甚至是手机！