算概率（dp，数论）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3003/C
来源：牛客网

题目描述

牛牛刚刚考完了期末，尽管牛牛做答了所有 n 道题目，但他不知道有多少题是正确的。
不过，牛牛知道第 i 道题的正确率是 p_i。
牛牛 想知道这 n 题里恰好有 0,1,…,n 题正确的概率分别是多少，对 10⁹+7取模。
对 10⁹+7取模的含义是：对于一个 b≠0的不可约分数 a/b，存在 q 使得 b×q mod (10⁹+7)=a，q 即为 a/b 对 10⁹+7取模的结果。

输入描述:

第一行，一个正整数 n 。
第二行，n 个整数 p₁,p₂,…,p_n，在模 10⁹+7意义下给出。
保证 1≤n≤2000。

输出描述:

输出一行 n+1个用空格隔开的整数表示答案（对 10⁹+7取模）。

输入

输出

说明

有 1 道题，做对的概率是 1/2 （ 1/2在模 10⁹+7意义下为 500000004 ）。

先说一点：

mod为10⁹+7，为质数

inv(b,mod) 表示b对mod的逆元，由费马小定理知b对mod的逆元即为b^mod-2。

求(a/b)%mod即为求(a*inv(b,mod))%mod,即等于该题的p。

long long fpow(long long a, long long b)
{
    if (a == ) return ;
    long long ans = ;
    for (; b; b >>= , a = (a % mod * a% mod) % mod)
        if (b & ) ans = (ans % mod * a % mod) % mod;
    return ans;
}
LL inv(LL a,LL mo)
{
    return fpow(a,mo-)%mo;
}
//求(a/b)%mod: printf("%lld\n",a*inv(b,mod)%mod);

另外注意到(a/b)%mod+(1- a/b)%mod = mod+1，由此可通过某事件概率求得其对立概率。

该题总体来说还是用dp来做，只不过用概率%mod（即题中p）来代替原本的概率即可。

dp[ i ][ j ] 表示前 i 道题做对 j 道的概率。

转移时考虑第 j 道题是否做对，转移方程为：dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j ]×(1−p_i)+dp[ i-1 ][ j-1 ]×p_i  。

时间复杂度 O(n²)

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <iostream>
 #include <string>
 #include <math.h>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <stack>
 #include <queue>
 #include <set>
 #include <map>
 #include <sstream>
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 typedef long long LL;
 const LL mod=1e9+;
 const int maxn=1e4+;
 using namespace std;

 LL P[];//表示第i道题做对的概率
 LL dp[][];//dp[i][j]表示前i道题做对j道的概率

 int main()
 {
     #ifdef DEBUG
     freopen("sample.txt","r",stdin);
     #endif

     int n;
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%lld",&P[i]);
     dp[][]=;
     for (int i = ; i <= n; i++)
     {
         dp[i][] = dp[i - ][] * (mod +  - P[i]) % mod;
         for (int j = ; j <= i; ++j)
             dp[i][j] = (dp[i - ][j] * (mod +  - P[i]) + dp[i - ][j - ] * P[i]) % mod;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
         printf(i==n?"%lld\n":"%lld ",dp[n][i]);

     return ;
 }

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