FMT/FWT学习笔记

目录

• FMT/FWT学习笔记
  • FMT 快速莫比乌斯变换 OR卷积
  • AND卷积
  • 快速沃尔什变换（FWT/XOR卷积)

FMT/FWT学习笔记

FMT/FWT是算法竞赛中求or/and/xor卷积的算法，数据处理中也有应用。

网上的命名方法有很多。

这里我们选这个博客的，把AND/OR命名为FMT，XOR命名为FWT

如果是整数，我们认为\(\cup\)和\(\cap\)运算是二进制下的，也就是\(\text{|和&}\)，这可以帮我们理解之后的集合幂级数。

FMT 快速莫比乌斯变换 OR卷积

与FMT可以求出

\[C=\sum_i C_i=\sum_i\sum_{j\cup k=i}A_j*B_k=A\cup B
\]

因为前缀的并是前缀，容易得到过程是把A、B求子集前缀和，得到FMTor数组

\[FMT(A)_n=\sum_{i \subseteq n}A_i
\]

与FFT类似，FMTor数组直接乘起来就得到了C的FMTor数组，证明如下：

\[FMT(A)_n * FMT(B)_n=\sum_{i \subseteq x} A_{i} \sum_{j \subseteq x} B_{j}=\sum_{i, j \subseteq x} A_{i} B_{j}=\sum_{k \subseteq x} \sum_{i \cup j=k} A_{i} B_{j}=FMT(C)_n
\]

最后换回去（子集和变原数组）就得到了C

至于具体怎么算前缀和，挂张图，想必大家见过很多次了吧（箭头表示加法）

如上图，讨论这一层的1在不在下一个集合即可。

代码：

const int N = 2e5+200;
const ll mod = 998244353;
int a[N];
void FMTor(int *a,int n,int opt){
    for(int l=2;l<=n;l<<=1){
        int m=l>>1;
        for(int *g=a;g!=a+n;g+=l){
            for(int k=0;k<m;k++){
                if(opt==1) g[k+m]=(g[k+m]+g[k])%mod;
                else g[k+m]=(g[k+m]-g[k]+mod)%mod;
            }
        }
    }
}

跟FFT非常的像...

AND卷积

\[C=\sum_i C_i=\sum_i\sum_{j\cap k=i}A_j*B_k=A\cap B
\]

然后猜测FMTand为后缀和（后缀的交为后缀），

\[FMT(A)_n=\sum_{n\subseteq i} A(i)
\]

同样的，证明：

\[FMT(A)_n * FMT(B)_n=\sum_{n\subseteq i} A_i\sum_{n\subseteq j} B_j=\sum_{n\subseteq i,j} A_i*B_j=\sum_{n\subseteq x}\sum_{i\cap j=x}A_i*B_j=FMT(C)_n
\]

和OR是不是有几分相似？

const int N = 2e5+200;
const ll mod = 998244353;
int a[N];
void FMTand(int *a,int n,int opt){
    for(int l=2;l<=n;l<<=1){
        int m=l>>1;
        for(int *g=a;g!=a+n;g+=l){
            for(int k=0;k<m;k++){
                if(opt==1) g[k]=(g[k]+g[k+m])%mod;
                else g[k]=(g[k]-g[k+m]+mod)%mod;
            }
        }
    }
}

快速沃尔什变换（FWT/XOR卷积)

这个稍微难点

我们要求

\[C=\sum_i C_i=\sum_i\sum_{j\oplus k=i}A_j*B_k=A\oplus B
\]

这里的FWT数组不是那么显然，考虑构造。

由于线性相关，令

\[FWT(A)_x=\sum_{i=0}^ng(x,i)A_i
\]

那么

\[\sum_{i=0}^{n} g(x, i) C_{i}=\sum_{j=0}^{n} g(x, j) A_{j} \sum_{k=0}^{n} g(x, k) B_{k}
\]

带入C的定义，

\[\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{n} g(x, j \oplus k) A_{j} B_{k}=\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{n} g(x, j) g(x, k) A_{j} B_{k}
\]

对比系数，

\[g(x,j\oplus k)=g(x,j)g(x,k)
\]

异或有一系列性质：

1. \((j\cap x)\oplus (k\cap x)=(j\oplus k)\cap x\)

   不知道这个的可以讨论一波：在第\(i\)位，

   \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}j & k &x &j\cap x &k\cap x&(j\cap x)\oplus (k\cap x)&j \oplus k&(j\oplus k)\cap x\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&0&1&1&1&1\\1&0&0&0&0&0&1&0\\1&0&1&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&0&0&0\\1&1&1&1&1&0&0&0\\\end{array}
   \]

2. 异或前后1的个数奇偶性不变（对吧）

那么我们定义\(|x|\)为二进制下集合大小，即1的个数，g就可以赋值了

\[g(x, i)=(-1)^{|i \cap x|}
\]

\[FWT(A)_{x}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{|i \cap x|} A_{i}
\]

考虑怎么递推算这个东西，考虑加不加上区间长度i

由于枚举i为2的次幂从小到大，新加上i集合大小一定加一，系数乘负一，否则不变。

那么有：

\[A[j+k]=A_0[j+k]+A_0[j+k+i]\\A[j+k+i]=A_0[j+k]-A_0[j+k+i]\\
\]

反过来，解方程可以得到

\[A_0[j+k]=\frac{A[j+k]+A[j+k+i]}{2}\\A_0[j+k+i]=\frac{A[j+k]-A_[j+k+i]}{2}\\
\]

代码：

const int N = 2e5+200;
const int mod = 998244353;
const int inv2 = 499122177;
int a[N];
void FWT(int *a,int n,int opt){
    for(int l=2;l<=n;l<<=1){
        int m=l>>1;
        for(int *g=a;g!=a+n;g+=l){
            for(int k=0;k<m;k++){
                ll t=g[k+m];
                g[k+m]=(g[k]-g[k+m]+mod)%mod;
                g[k]=(g[k]+t)%mod;//草，有蝴蝶变换内味了
                //提醒一下这和FFT的区别：没有乘单位根
                if(opt==-1) g[k]=1ll*g[k]*inv2%mod,g[k+m]=1ll*g[k+m]*inv2%mod;
                //而且反演的时候也不一样
            }
        }
    }
}

就愉快地学完啦！是不是比FFT简单