单源最短路径（3）：SPFA 算法

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法，是西南交通大学段凡丁于 1994 年发表的，其在 Bellman-ford 算法的基础上加上一个队列优化，减少了冗余的松弛操作，是一种高效的最短路算法。

算法过程

设立一个队列用来保存待优化的顶点，优化时每次取出队首顶点 u，并且用 u 点当前的最短路径估计值 dist[u] 对与 u 点邻接的顶点 v 进行松弛操作，如果 v 点的最短路径估计值 dist[v] 可以更小，且 v 点不在当前的队列中，就将 v 点放入队尾。这样不断从队列中取出顶点来进行松弛操作，直至队列空为止。（所谓的松弛操作，简单来说，对于顶点 i，把 dist[i] 调整更小。更多解释请参考百科：松弛操作)

而其检测负权回路的方法也很简单，如果某个点进入队列的次数大于等于 n，则存在负权回路，其中 n 为图的顶点数。

代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <stack>

using namespace std;

int  matrix[100][100]; // 邻接矩阵
bool visited[100];     // 标记数组
int  dist[100];        // 源点到顶点 i 的最短距离
int  path[100];        // 记录最短路的路径
int  enqueue_num[100]; // 记录入队次数
int  vertex_num;       // 顶点数
int  edge_num;         // 边数
int  source;           // 源点

bool SPFA()
{
    memset(visited, 0, sizeof(visited));
    memset(enqueue_num, 0, sizeof(enqueue_num));
    for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
    {
        dist[i] = INT_MAX;
        path[i] = source;
    }

    queue<int> Q;
    Q.push(source);
    dist[source] = 0;
    visited[source] = 1;
    enqueue_num[source]++;

    while (!Q.empty())
    {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        visited[u] = 0;

        for (int v = 0; v < vertex_num; v++)
        {
            if (matrix[u][v] != INT_MAX)  // u 与 v 直接邻接
            {
                if (dist[u] + matrix[u][v] < dist[v])
                {
                    dist[v] = dist[u] + matrix[u][v];
                    path[v] = u;

                    if (!visited[v])
                    {
                        Q.push(v);
                        enqueue_num[v]++;
                        if (enqueue_num[v] >= vertex_num)
                            return false;
                        visited[v] = 1;
                    }
                }
            }
        }
    }

    return true;
}

void Print()
{
    for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
    {
        if (i != source)
        {
            cout << source << " 到 " << i << " 的最短距离是：" << dist[i] << "，路径是：" << i;
            int t = path[i];
            while (t != source)
            {
                cout << "--" << t;
                t = path[t];
            }
            cout << "--" << source << endl;
        }
    }
}

int main()
{

    cout << "请输入图的顶点数，边数，源点：";
    cin >> vertex_num >> edge_num >> source;

    for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
        for (int j = 0; j < vertex_num; j++)
            matrix[i][j] = (i != j) ? INT_MAX : 0;  // 初始化 matrix 数组

    cout << "请输入 " << edge_num << " 条边的信息：\n";
    int u, v, w;
    for (int i = 0; i < edge_num; i++)
    {
        cin >> u >> v >> w;
        matrix[u][v] = w;
    }

    if (SPFA())
        Print();
    else
        cout << "存在负权回路!\n";

    return 0;
}

运行如下：

/* Test 1 */
请输入图的顶点数，边数，源点：5 7 0
请输入 7 条边的信息：
0 1 100
0 2 30
0 4 10
2 1 60
2 3 60
3 1 10
4 3 50
0 到 1 的最短距离是：70，路径是：1--3--4--0
0 到 2 的最短距离是：30，路径是：2--0
0 到 3 的最短距离是：60，路径是：3--4--0
0 到 4 的最短距离是：10，路径是：4--0

/* Test 2 */
请输入图的顶点数，边数，源点：4 6 0
请输入 6 条边的信息：
0 1 20
0 2 5
3 0 -200
1 3 4
3 1 4
2 3 2
存在负权回路!

判断负权回路的证明

如果某个点进入队列的次数大于等于 n，则存在负权回路。为什么偏偏是 n？

对于一个不存在负权回路的图，设其顶点数为 n，我们把图稍微“转换”下，如下图 A：

• 与源点 0 邻接的点{ 1, 2, 3 }作为第一批次；
• 与第一批次邻接的点{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 }作为第二批次；
• ......
• 与第 k-1 批次邻接的点{ ...... }作为第 k 批次。

其中 k≤n-1，当 k=n-1 时，即为上图 B。

每操作完一个批次的点，至少有一个点的最短路径被确定。这里读者只需从 Dijkstra 算法方面来考虑即可。Dijkstra 每次循环都找出 dist[] 里的最小值，可以对应到这里的每个批次。

一个不存在负权回路的图，最多有 n-1 个批次，每做完一个批次至少有一个点的最短路径被确定，即一个点的入队次数不超过 n-1。因为若一个顶点要入队列，则必存在一条权值之和更小的路径，而在最多做完 n-1 个批次后，所有顶点的最短路径都被确定。（这里需要注意的是，如果一个批次中，有多条路径对某顶点进行更新，则该顶点只会被入队一次，这从代码就可以看出）

时间复杂度

对于一个不存在负权回路的图，我们假设其顶点数为 n，边数为 m。

引自 SPFA 论文：考虑一个随机图，运用均摊分析的思想，每个点的平均出度为 \(O(\frac m n)\)，而每个点的平均入队次数为 2，因此时间复杂度为 \(O(n⋅\frac m n⋅2)=O(2m)=O(m)\)。

关于上述的“平均入队次数为 2”，2 这个数字从何得来，我也找不到证明，从网上各位朋友对此的一致态度：尚待商榷。但是可以确定的是，SPFA 算法在随机图中的平均性能是优于 Bellman_Ford 算法的。

SPFA 的最佳时间复杂度为 \(O(n)\)。比如上图 B，每个点只入队一次。

接着再看下 SPFA 的最差时间复杂度，它发生在一个完全图中，如下图（为突出重点，其余边未画出），

我们约定，0 点为源点，每次更新完 k 点出队后，k+1​ 点都可以再次对 k 点进行更新并入队，其中 ​1≤ k≤ n-2​。那么我们得出：

0 点，入队 1 次；

1 点，入队 n-1 次；

2 点，入队 n-2 次；

3 点，入队 n-3 次；

.

n-2 点，入队 2 次；

n-1 点，入队 1 次；

因为是完全图，所以每个点的出度为 n-1，因此总的时间复杂度为：

\[(n-1)⋅[1+1+2+3+...+(n-2)+(n-1)]=O(n^3)
\]

由于是完全图，也可以表达成 \(O(nm)\)。很容易看出，SPFA 算法的时间复杂度很不稳定。