【BZOJ2338】【HNOI2011】数矩形 [计算几何]

数矩形

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Description

　　最近某歌手在研究自己的全国巡回演出，他将所有心仪的城市都用平面上一个点来表示，并打算从中挑选出4个城市作为这次巡回演出的地点。
　　为了显示自己与众不同，他要求存在一个矩形使得挑选出的4个点恰好是这个矩形的4个顶点，并且希望这个矩形的面积最大。
　　这可急坏了经纪人，于是他向全球歌迷征集方案，当然你这位歌迷一定不会错过这个机会。

Input

　　第一行是一个正整数N，表示平面上点的个数（即某歌手心仪的城市数）。
　　接下来N行，每行是两个整数Xi,Yi，表示对应点的坐标。

Output

　　输出一个数，表示最大矩形面积。

Sample Input

　　8
　　-2 3
　　-2 -1
　　0 3
　　0 -1
　　1 -1
　　2 1
　　-3 1
　　-2 1

Sample Output

 　　10

HINT

　　1<=N<=1500 , -10^8<=Xi,Yi<=10^8

Main idea

　　给出平面上的若干个点，求出可由这些点作为顶点构成的矩形的最大面积。

Solution

　　显然是一道计算几何题。
　　先考虑矩形的特征：对角线长度相同并且对角线的中点在同一位置。
　　然后我们可以n^2枚举出所有对角线的长度并且求出其中点位置，按照长度为第一关键字，中点坐标为第二关键字sort一遍，那么显然可构成矩形的四个点的对角线一定是连续的。
　　然后我们枚举所有情况，用矢量叉积来求矩形的面积。
　　证明一下复杂度：发现最坏情况应该是所有的中点聚集在同一个点上，以其作为圆心，对角线长度作为直径拓展出成为一个圆，这样的话会有1500/2条长度相同的需要枚举的边，但是由于这是一个圆，所以两点连线不作为直径的构成的边几乎都是不需要枚举的，复杂度正确。

Code

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 using namespace std;  

 const int ONE=;

 int n;
 int cnt,num;
 int l[ONE*ONE],r[ONE*ONE];
 long long Ans;

 struct power
 {
         long long x,y;
 }a[ONE];

 struct point
 {
         long long dist;
         int i,j;
         power mid;
 }b[ONE*ONE];

 int cmp(const point &a,const point &b)
 {
         if(a.dist<b.dist) return ;
         if(a.dist>b.dist) return ;
         if(a.dist==b.dist)
         {
             if(a.mid.x<b.mid.x) return ;
             if(a.mid.y<b.mid.y) return ;
         }
         return ;
 }

 int get()
 {
         int res,Q=;    char c;
         while( (c=getchar())< || c>)
         if(c=='-')Q=-;
         if(Q) res=c-;
         while((c=getchar())>= && c<=)
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 long long Get_dist(power a,power b)
 {
         return (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y);
 }

 long long Get_area(power a1,power a2,power b1,power b2)
 {
         long long x1=a2.x-a1.x, y1=a2.y-a1.y;
         long long x2=b2.x-b1.x, y2=b2.y-b1.y;
         return abs( (x1*y2)-(x2*y1) );
 }

 void Deal()
 {
         for(int k=;k<=num;k++)
         {
             if(l[k]==r[k]) continue;
             for(int i=l[k];i<=r[k];i++)
             for(int j=i+;j<=r[k];j++)
             {
                 Ans=max(Ans,Get_area( a[b[i].i],a[b[i].j] , a[b[j].i],a[b[j].j]) );
             }
         }
 }

 int main()
 {
         n=get();
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             a[i].x=get();   a[i].y=get();
         }

         for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=i+;j<=n;j++)
         {
             b[++cnt].dist=Get_dist(a[i],a[j]);
             b[cnt].mid.x=(a[i].x+a[j].x);
             b[cnt].mid.y=(a[i].y+a[j].y);
             b[cnt].i=i; b[cnt].j=j;
         }

         sort(b+,b+cnt+,cmp);

         int i=;

         while(i<=cnt)
         {
             i++;
             l[++num]=i;
             while(b[i].dist==b[i+].dist && b[i].mid.x==b[i+].mid.x && b[i].mid.y==b[i+].mid.y && i<=cnt)
             {
                 i++;
             }
             r[num]=i;
         }

         Deal();
         printf("%lld",Ans/);

 }