Miller-Rabin 与 Pollard-Rho 算法学习笔记

前言

Miller-Rabin 算法用于判断一个数 \(p\) 是否是质数，若选定 \(w\) 个数进行判断，那么正确率约是 \(1-\frac{1}{4^w}\) ，时间复杂度为 \(O(\log p+w\log p)\)。（我的实现）

Pollard-Rho 算法可以在期望 \(O(n^{\frac{1}{4}})\) 的时间复杂度内找到合数 \(n\) 的某一个非平凡的（即既不是 \(1\)，也不是它本身的）因子。

下文中用 \(\mathbb{P}\) 来表示质数集合。

Miller-Rabin 算法

前置知识

费马小定理：若 \(p\in\mathbb{P},\gcd(a,p)=1\)，则 \(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\)。

二次探测定理：若 \(p\in\mathbb{P},x^2\equiv 1\pmod{p}\)，则 \(x\equiv\pm1\pmod{p}\)。

注意：费马小定理的逆命题并不成立！

算法流程

首先，将 \(p-1\) 表示成 \(t2^k\) 的形式。那么，若 \(p\in\mathbb{P}\)，则 \(p^{t2^k}=p^{p-1}\equiv1\pmod{p}\)。

然后我们选择 \(w\) 个数 \(q_1,q_2,\cdots,q_w\) 进行判断。假如当前判断到了 \(q_i\)，那么用快速幂计算出 \(a=q_{i}^{t}\bmod{p}\)。然后让 \(a\) 自乘 \(k\) 次，就可以得到 \(p-1\)。

自乘的时候我们判断，如果 \(a\equiv1\pmod{p}\) ，那么此时 \(p\) 有一定概率是质数。于是我们看一看 \(a\) 自乘前是否满足二次探测定理即可，如果是，则继续自乘，否则表明 \(p\) 一定不是质数。

如果自乘得到的数同余 \(p\) 不为 \(1\)，那么 \(p\) 也不一定是质数。否则 \(p\) 很可能是合数。

这时您可能会说：不是说过费马小定理逆定理不成立吗？其实，逆定理的反例（卡迈克尔数）是十分稀少的。经过多次判断，合数判成质数的概率十分小（质数不可能判成合数，想一想，为什么）

OI 中可以选择 \(w=9\)，\(q\) 为前 \(9\) 个质数。这样子 \(10^{18}\) 范围内一般不会出错。

参考实现

struct {/*Miller Rabin 质数判定算法*/
	vector<int> primes= {2,3,5,7,11,13,17,19,23};
	bool operator()(int p) {
		if (p==1)return 0;
		int t,k;
		for (t=p-1,k=0; !(t&1); k++,t>>=1);
		for (int i : primes) {
			if (p==i) return true;
			int a=fastpow(i,t,p),b=a;
			for (int j=1; j<=k; j++) {
				b=M(((__int128)a)*a,p);
				if (b==1&&a!=1&&a!=p-1) return false;
				a=b;
			}
			if (a!=1) return false;
		}
		return true;
	}
} MillerRabin;

模板题

Pollard-Rho 算法

前置知识

Floyd 判圈算法：该算法可以线性判断一个链表上是否有环。其流程为使用两个指针。一个指针每次跑 \(1\) 条边，另一个指针一次跑 \(2\) 条边，然后相遇的点就在环上。

算法流程

先特判 \(n=4\) 和 \(n\in\mathbb{P}\)。

Pollard-Rho 需要一个伪随机函数 \(f(x,c,n)=x^2+c\bmod{n}\)。其中 \(x\) 表示上一个数，\(c\) 是我们生成的，用于保证随机性的数，\(n\) 是我们需要找因子的数。

可以发现这个函数最后会大概率生成一个混循环序列。如同希腊字母 \(\rho(\texttt{Rho})\) 一般。

先选择一个随机数 \(c\)。两个指针从 \(0\) 出发，我们看成存在一个链表，其中存在边 \((i,f(i,c,n))\)。然后在上面跑 Floyd 判圈算法，在 Floyd 中，如果一个指针在 \(t\)，一个指针在 \(k\)。若 \(\gcd(|t-k|,n)\neq1\)。则我们认为 \(\gcd(|t-k|,n)\) 是 \(n\) 的一个因数。如果找到了环，则重新选择一个 \(c\)，重复上述流程。

此时时间复杂度期望 \(O(n^{\frac{1}{4}}\log n)\)。

算法优化

上述算法在洛谷板题上只能获得 \(93\) 分（TLE 在了第 \(13\) 个点）。优化迫在眉睫。

我们发现求 \(\gcd\) 的 \(O(\log n)\) 需要被优化。我们可以固定一个 \(W\)，跳 \(W\) 次的时候统计 \(|t-k|\) 的乘积 \(p\)。最后和 \(n\) 取一次 \(\gcd\)。然后如果下一次 \(p\) 会到 \(0\)，那么也要跳出。因为后面都是 \(0\)。

这样子只要 \(W\gt \log n\) 就可以做到期望 \(O(n^{\frac{1}{4}})\)。我试了一下，貌似 \(W=256\) 表现不错。

可以加一个记忆化，后面有用。

参考实现

mt19937 engine(time(0));

inline int pr_rand(int x,int c,int n) { /*Pollard Rho 算法使用的伪随机数*/
	return M(M(((__int128)x)*x,n)-c,n);
}

int pollard_rho(int n) { /*Pollard Rho 算法求一个数的某一个质因子*/
	if (prm[n])return prm[n];
	if (n==4) return 2;
	if (MillerRabin(n)) return n;
	uniform_int_distribution<int> randint(3,n-1);
	while (1) {
		int c=randint(engine);
		int t=0,r=0,p=1,q=0;
		do{
			for(int i=1;i<=256;i++){
				t=pr_rand(t,c,n);
				r=pr_rand(pr_rand(r,c,n),c,n);
				int delta=(t-r)>0?(t-r):(r-t);
				if(t==r||(q=M(__int128(p)*delta,n))==0){
					break;
				}
				p=q;
			}
			int d=__gcd(p,n);
			if(d>1) return prm[n]=d;
		}while(t!=r);
	}
}

P4718 【模板】Pollard's rho算法

简要题意

\(T\) 组数据，每组数据给出一个数 \(n\)，如果 \(n\) 是质数，输出 Prime，否则你需要输出 \(n\) 的最大质因子。

\(1 \leq T \leq 350,1 \lt n \leq 10^{18}\)

思路

首先，我们先用一个 Miller-Rabin 算法来判断质数。我们可以用 Pollard-Rho 算法找出所有的因子（当然不用存起来，只需要用一个递归函数，最后 \(\max\) 统计答案）即可。由于唯一分解定理，这个算法是正确的。

注意我们需要加一个记忆化来保证复杂度，否则复杂度爆炸。

代码

关键代码如下（要完整代码的私信）：

unordered_map<int,int> mrm;

int max_factor(int n) { /*求一个数的最大质因子*/
	if (mrm[n]) return mrm[n];
	int factor=pollard_rho(n);
	if (factor==n) return mrm[n]=n;
	return mrm[n]=max(max_factor(factor),max_factor(n/factor));
}

AC Record

参考资料

Miller Rabin 算法详解 - 自为风月马前卒 - 博客园

算法学习笔记(55): Pollard-Rho 算法 - 知乎