[C++] [算法] KMP算法

KMP串匹配算法是一个经典的算法。

传统BF算法是传统的字符串匹配算法。很好理解。叶实现。但时间复杂度太高。

本文将从字符串模式字符串被称为。为了匹配字符串被称为主弦。

KMP配时能够少移动从串的位置，从而保持主串的索引不移动。

1 原理

如上图所看到的，假设在从串中有A=B，然后在匹配的时候，发现B后面的字符与X后面的字符不匹配，又因为B=X，因此，就有X=A，那么。在下次比較的时候就不用回溯了，直接比較X后面的字符与A后面的字符。

这样就行使遍历主串的索引不移动，仅仅移动从串的索引。因此。时间复杂度就是O(P.size())。

2 实现

问题是，怎样在匹配之前获知A=B这一信息呢？也就是，当X后面的字符与B后面的字符不相等时，遍历从串的索引怎样移动呢？

为此，引入了next数组，它可以保存A=B这一信息。

比方ababd，它的next数组就是：-1,-1,0,1,-1。

有人或许要问。这个结果与《算法导论》上的结果不一样啊，这是由于《算法导论》上的字符串的索引是以1開始，因此。next数组的值是以0開始，在这里。数组的索引以0開始。因此，next数组的值是以-1開始。

我们先来学会怎样使用next数组。之后再来看怎样得到next数组。

已知next数组，就能够得到kmp算法的匹配函数：

int kmp(const string& str1, const string& str2)
{
	if(str1.size() < str2.size()) {
		return -1;
	}

	int j = -1;
	for(int i = 0; i < str1.size(); ++i) {
		while(str1[i] != str2[j + 1] && j >= 0) {
			j = next[j];
		}
		if(str1[i] == str2[j + 1]) {
			++j;
		}
		if(j == str2.size() - 1) {
			return i - j;
		}
	}
	return -1;
}

当中str1是主串。str2是从串。i用于遍历主串。j用于遍历从串。将j后面的一个字符与i位置的字符进行比較，假设不相等，而且j >= 0，就将j = next[j]。这里为什么要推断j >= 0呢？当j == -1时，说明str1[i] != str2[0]。那么。就不能运行j = next[j]，而应该直接++i。因此，j == -1是str1[i] != str2[j+1]的特殊情况，它要单独提出来。因此，假设跳出了while循环。就有两种情况，一种是str[i] == str2[j+1]，还有一种是j
== -1，假设str1[i] == str2[j+1]。就比較下一个。运行++j。

比方，上面的ababd，next数组为-1,-1,0,1,-1。主串为abaababd。

比較过程为：

abaababd

ababd

(1) 開始i = 0, j = -1。str1[0] == str2[0]，++i, ++j => i = 1, j = 0。

(2) i = 1, j = 0。str1[1] == str2[1]，++i, ++j => i = 2, j = 1。

(3) i = 2, j = 1。str1[2] == str2[2]。++i, ++j => i = 3, j = 2。

(4) i = 3, j = 2。str1[3] != str2[3] && j >= 0。j = next[j] = next[2] = 0 => i = 3, j = 0。

(5) i = 3, j = 0。

str1[3] != str2[1] && j >= 0。j = next[j] = next[0] = -1 => i = 3, j = -1。

(6) i = 3, j = -1。

str1[3] == str2[0]。++i, ++j => i = 4, j = 0。

(7) i = 4, j = 0。str1[4] == str2[1]，++i, ++j => i = 5, j = 1。

(7) i =5, j = 1。str1[5] == str2[2]，++i, ++j => i = 6, j = 2。

(7) i = 6, j = 2。str1[6] == str2[3]，++i, ++j => i = 7, j = 3。

(7) i = 7, j = 3。str1[7] == str2[4]。++i, ++j => i = 8, j = 4。

此时j == ababd.size() - 1，也就是从串比較完毕了。因此，找到了一个匹配串。此时i指向主串中最后匹配的那个字符。而j指向从串中最后匹配的那个字符。

从而，i - j就得到匹配的串在主串中的起始索引。

3 分析

因此。KMP的实现方式是：

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvbHVvZmVuZ21hY2hlbmc=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" width="500" height="300" alt="">

从图中能够看到，在从串中，0~j与主串中的i-j-1~i-1一样，然而。当比較主串中的i与从串中的j+1时，发现不匹配，此时，因为从串中的0~next[j]与j-next[j]~j一样，于是有：

从串中的0~next[j]与主串中的i-next[j]-1~i-1一样。因此。能够直接将j = next[j]，直接将j跳到下次匹配的位置。而i不变。

因此，next[j]的意义是：因为从串中0~j子串中。前面一部分和后面一部分一样。于是，当0~j与主串匹配而j+1位置不匹配时，下次匹配j的位置。

所以。開始循环之前。没有匹配串，j的值就是-1，而《算法导论》中，字符串以1開始，那么，没有匹配串时，j的值就是0。

4 next数组的产生

知道了怎样使用next数组，然后就是怎样获得next数组了。

void get_next(const string& str, vector<int> &next)
{
	next[0] = -1;
	int j = -1;

	for(int i = 1; i < str.size(); ++i) {
		while(str[i] != str[j + 1] && j >= 0) {
			j = next[j];
		}
		if(str[i] == str[j + 1]) {
			++j;
		}
		next[i] = j;
	}
}

能够看出，next数组的生成跟kmp算法的实现方式类似。

事实上，从next数组的意义就能够看出。next数组的生成方式也是一个字符串的匹配过程。

假设str[i] == str[j+1]，那么str中0~j+1与i-j-1~i一样，再将++j，变0~j与i-j~i等同。然后，next[i] = j。

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