利用 random 与 tertools 模块解决概率问题

Python 中的 random 与 tertools 模块可以得到伪随机数与排列、组合，下面利用这两个模块求解一些有趣的概率问题。

一、random 与 tertools 模块

random 模块常用函数：

• random()：返回一个位于区间 [0,1] 内的实数；
• uniform(a, b)：返回一个位于区间 [a,b] 内的实数；
• randint(a, b)：返回一个位于区间 [a,b] 内的整数；
• choice(sequence)：返回一个位于 sequence 中的元素，其中，sequence 为一个有序序列，如 list、string 或者 tuple 等类型；
• randrange([start], stop[, step])：等效于 choice(range([start], stop[, step]))；
• shuffle(sequence [, random])：无返回值，用于打乱 sequence 中元素的排列顺序；
• sample(sequence, n)：返回一个由 n 个 sequence 中的元素组成的分片，其中，sequence 也可以是 set 类型。

itertools 模块常用函数：

• permutations(sequence, k))：从序列 sequence 中得到包含 k 个元素的所有排列。
• combinations(sequence, k))：从序列 sequence 中得到包含 k 个元素的所有组合。

二、概率趣题

每当网上有人发布与条件概率悖论相关的帖子时，总会引来无数旁人的围观与争论，五花八门的分析乍看像模像样，实则让人晕头转向。现在我不去理论分析计算，只根据概率论中的 大数定律，利用计算机重复模拟事件，最终求出问题的准确答案（尽管有可能自己并不理解背后的道理）。

1、羊车门问题

有一个抽奖节目，台上有三扇关闭的门，一扇门后面停着汽车，其余门后都是山羊，只有主持人知道每扇门后面是什么。参赛者可以选择一扇门，在开启它之前，主持人会开启另外一扇门，露出门后的山羊，然后允许参赛者更换自己的选择。问题是：参赛者更换选择后能否增加赢得汽车的机会？

该问题的 Python 3.x 解答程序如下：

from random import *

def once(doors = 3):		# 一次事件的模拟
	car = randrange(doors)	# 一扇门后面停着汽车
	man = randrange(doors)	# 参赛者预先选择一扇门
	return car == man	# 参赛者是否最初就选择到车

h = 0	# 坚持选择赢得汽车的次数
c = 0	# 改变选择赢得汽车的次数
times = int(1e6) # 重复实验的次数

for i in range(times):
	if once():	h += 1
	else:		c += 1

print("维持选择：",h/times*100,"%\n改变选择：",c/times*100,"%")

---

维持选择： 33.268 %
改变选择： 66.732 %

2、姊妹花

一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，求另一个小孩也是女孩的概率。

from random import * # 0 表示女孩，1 表示男孩

family = (lambda n :[{randrange(2),randrange(2)} for i in range(n)])(int(1e6))

both = family.count({0})                # 都是女孩的家庭数
exist = len(family) - family.count({1}) # 有女孩的家庭数

print(both/exist)

---

0.33332221770186543

没有那些深奥的分析过程，寥寥数行代码就得到了问题的答案，想必这也是计算机引入数学计算与证明的好处。

3、生日悖论

每个人都有生日，偶尔会遇到与自己同一天过生日的人，但在生活中这种缘分似乎并不常有。我们猜猜看：在 50 个人当中出现这种缘分的概率有多大，是 10%、20% 还是 50%？

from random import *

counter, times = 0, int(1e6)
for i in range(times):
	if len({randrange(365) for i in range(50)}) != 50: # 存在同一天生日的人
		counter += 1

print('在 50 个人中有相同生日的概率为：',counter/times)

---

在 50 个人中有相同生日的概率为： 0.970109

在 50 个人中有相同生日的概率高达 97%，这个数字恐怕高出了绝大多数人的意料。我们没有算错，是我们的直觉错了，科学与生活又开了个玩笑。正因为计算结果与日常经验产生了如此明显的矛盾，该问题被称为「生日悖论」，它体现的是理性计算与感性认识的矛盾。

4、扑克牌问题

概率论给我们带来了很多匪夷所思的反常结果，条件概率尤其如此。譬如：

1. 四个人打扑克，其中一个人说，我手上有一个 A。请问他手上有不止一个 A 的概率是多少？
2. 四个人打扑克，其中一个人说，我手上有一个黑桃 A。请问他手上有不止一个 A 的概率又是多少？

from random import *

cards = [i for i in range(52)]
counter = [0, 0, 0, 0]

def once():           # 0 表示黑桃 A
	global cards
	ace = set(sample(cards, 13)) & {0,1,2,3}
	return len(ace), 0 in ace

for i in range(int(1e6)):
	a, s = once() # a 表示 A 的个数， s 表示是否有黑桃 A
	if a:
		counter[1] += 1
		if s:	counter[3] += 1
	if a > 1:
		counter[0] += 1
		if s:	counter[2] += 1

print('情况一：', counter[0]/counter[1], '\n情况二：', counter[2]/counter[3])

---

情况一： 0.3694922900321386
情况二： 0.5613778028656186

有趣的事情出来了：如果这个人宣布了手中 A 的花色，他手中持有多个 A 的概率竟然会大大增加。可这又该如何理解呢？