【BZOJ】【1047】【HAOI2007】理想的正方形

DP/单调队列优化

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　　一眼看上去就是DP

　　我想的naive的二维DP是酱紫滴：

　　　　mx[i][j][k]表示以(i,j)为右下角的k*k的正方形区域内的最大值，mn[i][j][k]同理

　　　　mx[i][j][k]=max(v[i][j],max(v[i-k+1][j-k+1],max(mx[i-1][j][k-1],mx[i][j-1][k-1])))，mn[i][j][k]同理

　　这个DP是既爆空间又爆时间的……我把空间优化了一下：由于转移的时候只用到了i-1行的DP值，所以可以用滚动数组。

　　但是时间上我优化不来了……

 //BZOJ 1047
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=,M=,INF=~0u>>;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/
 int a,b,n,ans=INF;
 int mx[][N][M],mn[][N][M],v[N][N];
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("1047.in","r",stdin);
     freopen("1047.out","w",stdout);
 #endif
     a=getint(); b=getint(); n=getint();
     F(i,,a) F(j,,b) v[i][j]=getint();
     F(i,,a){
         int now=i&;
         F(j,,b){
             mx[now][j][]=mn[now][j][]=v[i][j];
             F(k,,min(n,min(i,j))){
                 mx[now][j][k]=max(v[i][j],max(v[i-k+][j-k+],max(mx[now][j-][k-],mx[now^][j][k-])));
                 mn[now][j][k]=min(v[i][j],min(v[i-k+][j-k+],min(mn[now][j-][k-],mn[now^][j][k-])));
             }
             if (min(i,j)>=n) ans=min(ans,mx[now][j][n]-mn[now][j][n]);
         }
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

（80分TLE）

　　看了下题解：单调队列！

　　豁然开朗，这不就是一个二维的滑动窗口吗？我个sb没想到啊……

　　每行先做一遍单调队列优化DP，求出mx[i][j]表示以(i,j)为右端点的横着的n个格子的最大值（mn[i][j]同理）

　　然后再对每列做一遍……（这时候每一格的值就代表了横着的n个格子的最优值）

　　在对列进行DP的时候，为了节省(tou)空间(lan)我做完一列的DP就更新了一下答案……

P.S.感觉这个做法就是把一个二维的DP拆成(n+n)个一维DP分别搞……因为一维DP好搞、好优化= =所以总体上复杂度是降低了……（二维是n*n个状态，k的转移，一维是n个状态，转移可以优化到O(1)，所以虽然一维DP要做2n遍，但总复杂度是$2×n^2$，更优）

 /**************************************************************
     Problem: 1047
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:1980 ms
     Memory:13240 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1047
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=,M=,INF=~0u>>;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/
 int a,b,n,ans=INF;
 int mx[N][N],mn[N][N],Q[N],t1[N],t2[N],v[N][N];
 void get_row(){
     int l=,r=-;
     F(i,,a){
         l=,r=-;
         F(j,,b){
             while(l<=r && v[i][Q[r]]<=v[i][j])r--;
             Q[++r]=j;
             while(l<=r && j-Q[l]>=n) l++;
             if (j>=n) mx[i][j]=v[i][Q[l]];
         }
         l=,r=-;
         F(j,,b){
             while(l<=r && v[i][Q[r]]>=v[i][j])r--;
             Q[++r]=j;
             while(l<=r && j-Q[l]>=n) l++;
             if (j>=n) mn[i][j]=v[i][Q[l]];
         }
     }
 }
 void get_line(){
     int l,r;
     F(j,n,b){
         l=,r=-;
         F(i,,a){
             while(l<=r && mx[Q[r]][j]<=mx[i][j]) r--;
             Q[++r]=i;
             while(l<=r && i-Q[l]>=n) l++;
             if (i>=n) t1[i]=mx[Q[l]][j];
         }
         l=,r=-;
         F(i,,a){
             while(l<=r && mn[Q[r]][j]>=mn[i][j]) r--;
             Q[++r]=i;
             while(l<=r && i-Q[l]>=n) l++;
             if (i>=n) t2[i]=mn[Q[l]][j];
         }
         F(i,n,a) ans=min(ans,t1[i]-t2[i]);
     }
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("1047.in","r",stdin);
     freopen("1047.out","w",stdout);
 #endif
     a=getint(); b=getint(); n=getint();
     F(i,,a) F(j,,b) v[i][j]=getint();
     get_row();
     get_line();
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

（正解）