【2017 Multi-University Training Contest - Team 4】Counting Divisors

【Link】:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069

【Description】



定义d(i)为数字i的因子个数;

求∑rld(ik)

其中l,r<=1012且r−l<=106

【Solution】



如果把一个数x质因数分解成p1a1∗p2a2∗...∗pnan

的形式;

可知数字x的因子个数为

(a1+1)∗(a2+1)∗...∗(an+1)

因为i还有k次方;

所以答案就是

(a1∗k+1)∗(a2∗k+1)∗...∗(an∗k+1)

需要对l..r里面所有的数字都进行质因数分解;

可以这样

先处理出2..r√之间的所有素数;

然后枚举每个素数i它在l..r之间的倍数x;

则对x 用素数i进行质因数分解,也即一直除它;

这样,就能算出来x在质因数分解的时候,素数i最后的指数是多少了;

(累乘数字x的答案就好);

记录x在进行质因数分解的时候被除剩下的数字,除的时候是用

这个记录的数字除;

最后这个数字可能会不变;

因为它本身可能就是一个素数;

所以小于r√的素数可能不是它的因子;

但是不可能还有大于r√的因子;

所以如果除剩下的数字还大于0;

答案再乘上(k+1)就好;

最后把每个数字它的答案累加起来;

(一开始可以用O(n)的素数筛求出1..n之间的所有素数);



【NumberOf WA】



many times



【Reviw】



一开始一直往O(n14)的质因数分解想了;

没想到这种方法.

判断出某个素数是某个数的因子之后,不要再记录它的因子是什么了;

直接就开始质因数分解,这样比较快;

不然会超时.



【Code】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define ri(x) scanf("%d",&x)
#define rl(x) scanf("%lld",&x)
#define rs(x) scanf("%s",x+1)
#define oi(x) printf("%d",x)
#define ol(x) printf("%lld",x)
#define Open() freopen("F:\\rush.txt","r",stdin)
#define Close() ios::sync_with_stdio(0)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 1e6;
const LL MOD = 998244353;

bool iszs[N+100];
vector <int> zsb;
LL num[N+100],ans[N+100];

int main(){
    //Open();
    //Close();
    ms(iszs,true);
    rep1(i,2,N)
    {
        if (iszs[i]) zsb.pb(i);
        int len = zsb.size();
        rep1(j,0,len-1)
        {
            int t = zsb[j];
            if (i*t>N) break;
            iszs[i*t] = false;
            if (i%t==0) break;
        }
    }

    int T;
    ri(T);
    while (T--){
        LL l,r,k;
        rl(l),rl(r),rl(k);
        for (LL i = l;i <= r;i++)
            num[i-l+1] = i,ans[i-l+1] = 1;

        rep1(i,0,(int) zsb.size()-1){
            LL x = zsb[i];
            if (x > r) break;
            LL temp = ((l-1)/x + 1)*x;
            for (LL i = temp;i <= r;i+=x){
                LL tot = i,cnt = 0;
                while (tot%x==0){
                    tot/=x;
                    num[i-l+1]/=x;
                    cnt++;
                }
                ans[i-l+1] = ans[i-l+1]*(cnt*k+1)%MOD;
            }
        }

        LL fans = 0;

        for (LL i = l;i <= r;i++){
            if (num[i-l+1]!=1){
                fans = (fans + ans[i-l+1]*(k+1)%MOD)%MOD;
            }else
                fans = (fans + ans[i-l+1])%MOD;
        }
        ol(fans);puts("");
    }
    return 0;
}