【HDU4676】Sum Of Gcd（莫队+欧拉函数）

点此看题面

大致题意： 多组询问，求\(\sum_{i=L}^R\sum_{j=i+1}^Rgcd(i,j)\)。

推式子

这道题我们可以考虑，每个因数\(d\)被统计答案的次数，肯定与其出现次数有关。

设它出现次数为\(cnt_d\)，则可以猜测答案为：

\[\sum_{d=1}^nd\cdot C_{cnt_d}^2
\]

这显然是错的，因为\(d\)虽作为公因数，却不一定是最大公约数。

所以就可以考虑容斥。

对于一个统计过的数\(x\)，按照我们先前的做法，对于任意\(d|x\)，\(d\)一定都被统计过了。

可以发现，这似乎恰好是一个欧拉函数。

于是式子就可以化成：

\[\sum\phi(d)*C_{cnt_d}^2
\]

求解

我们先用线性筛筛出欧拉函数，然后预处理出每个数的因数。

接下来对于这种区间问题，自然可以用莫队来搞。

每次转移时枚举因数更新答案即可。

但还有个问题，枚举因数更新答案似乎会\(TLE\)？

但据\(hl666\)神仙证明，每个数的因数个数是\(O(N^{\frac13})\)的！

这样时间复杂度就是\(O(N^{\frac{11}6})\)，而\(N\le20000\)，可以过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 20000
#define LL long long
using namespace std;
int n,a[N+5];
class FastIO
{
	private:
		#define FS 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define pc(c) (C^FS?FO[C++]=c:(fwrite(FO,1,C,stdout),FO[(C=0)++]=c))
		#define tn (x<<3)+(x<<1)
		#define D isdigit(c=tc())
		int T,C;char c,*A,*B,FI[FS],FO[FS],S[FS];
	public:
		I FastIO() {A=B=FI;}
		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
		Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}
		Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
		Tp I void writeln(Con Ty& x) {write(x),pc('\n');}
		I void writes(Con string& x) {for(RI i=0,l=x.length();i^l;++i) pc(x[i]);}
		I void clear() {fwrite(FO,1,C,stdout),C=0;}
}F;
class CaptainMotao//莫队
{
	private:
		static const int Q=20000;int Bsz,cnt[N+5];LL res,ans[Q+5];
		struct Query//存储询问
		{
			int l,r,bl,pos;I Query(CI x=0,CI y=0,CI b=0,CI p=0):l(x),r(y),bl(b),pos(p){}
			I bool operator < (Con Query& t) const {return bl^t.bl?bl<t.bl:(bl&1?r<t.r:r>t.r);}//排序
		}q[Q+5];
		class LineSiever//初始化
		{
			private:
				static const int SZ=N;int Pcnt,P[SZ+5];
			public:
				int phi[SZ+5];vector<int> fac[SZ+5];
				I LineSiever()
				{
					RI i,j;for(phi[1]=1,i=2;i<=SZ;++i) for(!P[i]&&(phi[P[++Pcnt]=i]=i-1),j=1;1LL*i*P[j]<=SZ;++j)
						if(P[i*P[j]]=1,i%P[j]) phi[i*P[j]]=phi[i]*(P[j]-1);else {phi[i*P[j]]=phi[i]*P[j];break;}
					for(i=1;i<=SZ;++i) for(j=i;j<=SZ;j+=i) fac[j].push_back(i);
				}
		}S;
		I void Add(CI x) {for(RI i=0,s=S.fac[x].size();i^s;++i) res+=1LL*S.phi[S.fac[x][i]]*cnt[S.fac[x][i]]++;}//增大区间
		I void Del(CI x) {for(RI i=0,s=S.fac[x].size();i^s;++i) res-=1LL*S.phi[S.fac[x][i]]*--cnt[S.fac[x][i]];}//缩小区间
	public:
		I void Solve()//求解答案
		{
			RI Qtot,i,x,y,L=1,R=0;memset(cnt,0,sizeof(cnt)),Bsz=sqrt(n),F.read(Qtot);
			for(i=1;i<=Qtot;++i) F.read(x,y),q[i]=Query(x,y,(x-1)/Bsz+1,i);//读入数据
			for(res=0,sort(q+1,q+Qtot+1),i=1;i<=Qtot;++i)//排序并处理
			{
				W(R<q[i].r) Add(a[++R]);W(L>q[i].l) Add(a[--L]);W(R>q[i].r) Del(a[R--]);W(L<q[i].l) Del(a[L++]);//更新区间
				ans[q[i].pos]=res;//记录答案
			}static int t=0;F.writes("Case #"),F.write(++t),F.writes(":\n");
			for(i=1;i<=Qtot;++i) F.writeln(ans[i]);//输出答案
		}
}C;
int main()
{
	RI Ttot,i;F.read(Ttot);W(Ttot--)
	{
		for(F.read(n),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]);//读入
		C.Solve();//莫队求解
	}return F.clear(),0;
}