Luogu_3239 [HNOI2015]亚瑟王
Luogu_3239 [HNOI2015]亚瑟王
vim-markdown 真好用
这个题难了我一下午
第一道概率正而八经\(DP\),还是通过qbxt讲解才会做的。
发现Sengxian真是个dalao。讲的真是很清楚。代码也比较干净
做题心得:
1.概率和期望联系紧密。若无法直接计算期望,可是用期望的性质,将问题转化为算概率
2.若目标概率无法直接计算,可以通过计算过程中的某个步骤的概率,间接的计算出目标概率
若跟据局面进行状压\(DP\),时间复杂度成熟不起。
考虑优化状态。
发现,对于某一张牌,我们只要知道他用没有用过就行了。
所以一个很重要的操作就是定序。
我们只需要枚举某一张牌。在某一个局面中是否会被选中就可以了。
根据某一个局面出现的概率,便可计算出某一张牌在某个局面被选的概率,从而推出期望。
那么问题就是推出这个局面出现的概率。也就是过程中某个步骤的概率。
我们可以更改一下决策, 我们只需要枚举在某一个局面中。要么在剩余j轮(也就是当前局面)的时候被选中,要么在永远不会被选中
然后直接转移到决策下一张卡。
这样做, 我们可以避免同一张卡之间不同决策之间的互相影响, 又可以不丢失任何答案。
设\(f_{i,j}\)为前\(i\)张卡牌已经决策完了,还剩下\(j\)局可以进行
根据上面的说明,便可以写出状态转移方程
\(f_{i,j}=f_{i-1,j}*(1-p_i)^j+f_{i-1,j+1}*(1-(1-p_i)^{j+1})\)
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <bitset>
using std::bitset;
const int maxn=101000;
const int MAX=100000;
const long long mod=1000000001;
const int log_2=17;
const int log_3=11;
int n;
long long map[log_2][300];
int check[log_2][log_3];
int Log_2,Log_3;
int len[log_2];
int step[maxn],tot;
bitset<maxn>vis;
void init()
{
for(int i=0;i<(1<<log_3);i++)
if((i&(i<<1))==0)
step[++tot]=i;
return ;
}
double Log(int base,int val)
{
return log(val)/log(base);
}
long long calc(int limte)
{
memset(map,0,sizeof(map));
memset(check,0,sizeof(check));
memset(len,0,sizeof(len));
int wide=0;
for(int &i=wide,pas1=limte;i<=Log_2&&pas1<=n;i++,pas1<<=1)
for(int j=0,pas2=pas1;j<=Log_3&&pas2<=n;j++,pas2*=3)
{
check[i][j]=pas2,len[i]|=(1<<j);
vis[pas2]=1;
}
wide-=1;
for(int i=1;step[i]<=len[0]&&i<=tot;i++)
map[0][i]=1;
for(int i=0;i<wide;i++)
for(int j=1;step[j]<=len[i]&&j<=tot;j++)
for(int k=1;step[k]<=len[i+1]&&k<=tot;k++)
if((step[j]&step[k])==0)
map[i+1][k]=(map[i][j]+map[i+1][k])%mod;
long long ans=0;
for(int i=0;step[i]<=len[wide];i++)
ans=(ans+map[wide][i])%mod;
return ans;
}
int main()
{
init();
scanf("%d",&n);
Log_2=Log(2,n);Log_3=Log(3,n);
long long ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!vis[i])
ans=(ans*calc(i))%mod;
printf("%lld",ans);
}
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