Luogu_3239 [HNOI2015]亚瑟王

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vim-markdown 真好用

这个题难了我一下午

第一道概率正而八经\(DP\)，还是通过qbxt讲解才会做的。

发现Sengxian真是个dalao。讲的真是很清楚。代码也比较干净

做题心得:

1.概率和期望联系紧密。若无法直接计算期望，可是用期望的性质，将问题转化为算概率

2.若目标概率无法直接计算，可以通过计算过程中的某个步骤的概率，间接的计算出目标概率

若跟据局面进行状压\(DP\),时间复杂度成熟不起。

考虑优化状态。

发现，对于某一张牌，我们只要知道他用没有用过就行了。

所以一个很重要的操作就是定序。

我们只需要枚举某一张牌。在某一个局面中是否会被选中就可以了。

根据某一个局面出现的概率，便可计算出某一张牌在某个局面被选的概率，从而推出期望。

那么问题就是推出这个局面出现的概率。也就是过程中某个步骤的概率。

我们可以更改一下决策， 我们只需要枚举在某一个局面中。要么在剩余j轮(也就是当前局面)的时候被选中，要么在永远不会被选中

然后直接转移到决策下一张卡。

这样做， 我们可以避免同一张卡之间不同决策之间的互相影响， 又可以不丢失任何答案。

---

设\(f_{i,j}\)为前\(i\)张卡牌已经决策完了，还剩下\(j\)局可以进行

根据上面的说明，便可以写出状态转移方程

\(f_{i,j}=f_{i-1,j}*(1-p_i)^j+f_{i-1,j+1}*(1-(1-p_i)^{j+1})\)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <bitset>

using std::bitset;

const int maxn=101000;
const int MAX=100000;
const long long mod=1000000001;
const int log_2=17;
const int log_3=11;

int n;
long long map[log_2][300];
int check[log_2][log_3];
int Log_2,Log_3;
int len[log_2];
int step[maxn],tot;
bitset<maxn>vis;

void init()
{
    for(int i=0;i<(1<<log_3);i++)
        if((i&(i<<1))==0)
            step[++tot]=i;
    return ;
}

double Log(int base,int val)
{
    return log(val)/log(base);
}

long long calc(int limte)
{
    memset(map,0,sizeof(map));
    memset(check,0,sizeof(check));
    memset(len,0,sizeof(len));
    int wide=0;
    for(int &i=wide,pas1=limte;i<=Log_2&&pas1<=n;i++,pas1<<=1)
        for(int j=0,pas2=pas1;j<=Log_3&&pas2<=n;j++,pas2*=3)
        {
            check[i][j]=pas2,len[i]|=(1<<j);
            vis[pas2]=1;
        }
    wide-=1;
    for(int i=1;step[i]<=len[0]&&i<=tot;i++)
        map[0][i]=1;
    for(int i=0;i<wide;i++)
        for(int j=1;step[j]<=len[i]&&j<=tot;j++)
            for(int k=1;step[k]<=len[i+1]&&k<=tot;k++)
                if((step[j]&step[k])==0)
                    map[i+1][k]=(map[i][j]+map[i+1][k])%mod;
    long long ans=0;
    for(int i=0;step[i]<=len[wide];i++)
        ans=(ans+map[wide][i])%mod;
    return ans;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d",&n);
    Log_2=Log(2,n);Log_3=Log(3,n);
    long long ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i])
            ans=(ans*calc(i))%mod;
    printf("%lld",ans);
}