E. Side Transmutations

http://codeforces.com/contest/1065/problem/E

题意:

  长度为n的字符串,字符集为A,问多少不同的字符串。两个字符串相同:

  1. 在给定的数组b中,找到一个数b[i],设k=b[i]
  2. 将1~k,与n-k+1~n 的字符串翻转,然后交换位置。新形成的字符串与原来的字符串相等。

分析:

  考虑只有一个b[i]的影响,那么对于一个字符串,分成了三段,前面k个,后面k个,中间的。中间的部分就是$A^{n-k-k}$,再看两边形成多少种字符串,使得这些都是不同的。

  左边k个和右边k个的所有的字符串,两两组合,加上中间的部分,构成一个字符串。然后这个字符串与操作后的字符串是相等的,于是它们应该只计算一次,所以除以2就行。但是有一些字符串操作后,与原来一样,这些也不会形成等价的字符串,所以不需除以2,算一次就行了。

  左边k个的总方案数$A^{k}$,两边两两组合$A^{k+k}$。操作后与原来一样的字符串$A^{k}$,表示左边k个随便选,右边的k个为左边的倒置。那么第一部分就是$\frac{A^{k+k}-A^{k}}{2}$,再加上第二部分$A^{k}$,合并后$\frac{A^{k} \times (A^{k} + 1)}{2}$。

  然后考虑增加一个b的影响,那么中间的部分,不可以在按上一个的选了,为$A^{n-k-k}$,所以先不考虑中间的,只考虑两边的。因为b[i]下一个回事两边增加b[i+1]-b[i]个字符。那么这b[i]在按照上面的方式组合,就会有形成一些新的字符串。那么乘上这些即可,最后再乘上中间的部分。就是$A^{n-b[m]-b[m]}$

代码:

 #include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cctype>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#define fi(s) freopen(s,"r",stdin);
#define fo(s) freopen(s,"w",stdout);
using namespace std;
typedef long long LL; inline int read() {
int x=,f=;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-;
for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*+ch-'';return x*f;
} const int N = ;
const LL mod = ; LL ksm(LL a, LL b) {
LL res = ;
while (b) {
if (b & ) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= ;
}
return res;
} LL b[N]; int main() {
int n = read(), m = read();
LL A = read();
for (int i=; i<=m; ++i) b[i] = read();
LL ans = , inv2 = ksm(, mod - );
for (int i=; i<=m; ++i) {
LL L = b[i] - b[i - ];
LL tmp = ksm(A, L);
ans = ans * tmp % mod * (tmp + ) % mod;
ans = ans * inv2 % mod;
}
ans = ans * ksm(A, n - b[m] - b[m]) % mod;
cout << ans;
return ;
}

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