【刷题】BZOJ 2142 礼物

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E

心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人

，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某

个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；

第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；

以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100

4 2

1

2

Sample Output

12

【样例说明】

下面是对样例1的说明。

以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：

1/23 1/24 1/34

2/13 2/14 2/34

3/12 3/14 3/24

4/12 4/13 4/23

【数据规模和约定】

设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。

对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤105。

Solution

推出求答案的式子：

\(ans=C_{n}^{w_1}C_{n-w_1}^{w_2}C_{n-w_1-w_2}^{w_3}...\)

看 \(n\) 的范围，1e9，那就是要扩展Lucas了

然后？好像就是扩展Lucas的模板题了。。中间用CRT合并

不会扩展Lucas的看这里

（PS：如果把式子拆开，化成这样 \(ans=\frac{n!}{w1!w2!w3!.....(n-\sum_{i=1}^nw_i)!}\mod p)\)，是不是可以更快呢？虽然复杂度是一样的）

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXM=10;
int p,w[MAXM];
ll ans=1;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b,ll n)
{
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%n;
		a=a*a%n;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-(a/b)*y;
	return r;
}
inline ll fac(ll n,ll pi,ll pk)
{
	if(!n)return 1;
	ll res=1;
	for(register ll i=2;i<=pk;++i)
		if(i%pi)(res*=i)%=pk;
	res=qexp(res,n/pk,pk);
	for(register ll i=2;i<=n%pk;++i)
		if(i%pi)(res*=i)%=pk;
	return res*fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
inline ll inv(ll n,ll Mod)
{
	ll d,x,y;
	exgcd(n,Mod,x,y);
	return (x+Mod)%Mod==0?Mod:(x+Mod)%Mod;
}
inline ll C(ll n,ll m,ll pi,ll ki,ll pk)
{
	if(n<m)return 0;
	ll Mul1=fac(n,pi,pk),Mul2=fac(m,pi,pk),Mul3=fac(n-m,pi,pk);
	ll k=0;
	for(register ll i=n;i;i/=pi)k+=i/pi;
	for(register ll i=m;i;i/=pi)k-=i/pi;
	for(register ll i=n-m;i;i/=pi)k-=i/pi;
	return Mul1*inv(Mul2,pk)%pk*inv(Mul3,pk)%pk*qexp(pi,k,pk)%pk;
}
inline ll CRT(ll B,ll W)
{
	return B*inv(p/W,W)%p*(p/W)%p;
}
inline ll exLucas(ll n,ll m)
{
	ll res=0,tmp=p;
	for(register ll i=2;i<=tmp;++i)
		if(tmp%i==0)
		{
			ll ki=0,pk=1;
			while(tmp%i==0)tmp/=i,pk*=i,ki++;
			(res+=CRT(C(n,m,i,ki,pk),pk))%=p;
		}
	return res;
}
int main()
{
	read(p);
	int n,m,tot=0;
	read(n);read(m);
	for(register int i=1;i<=m;++i)read(w[i]),tot+=w[i];
	if(tot>n)
	{
		puts("Impossible");
		return 0;
	}
	for(register int i=1;i<=m;++i)(ans*=exLucas(n,w[i]))%=p,n-=w[i];
	write(ans,'\n');
	return 0;
}