leetcode 121 股票买卖问题系列

描述：

给一些列数字，表示每条股票的价格，如果可以买卖一次（不能同一天买和卖），求最大利益（即差最大）。

其他三道问题是，如果能买卖无限次，买卖两次，买卖k次。

题一：

实质是求后面一个数减前一个数的最大差值。

维护一个最小值，和当前最大值。只需遍历一次，空间也是常数。

int maxProfit(vector<int>& prices) {
    if (prices.size() < )
        return ;
    int min_ = prices[];
    int ret = ;

    for (int i = ; i < prices.size(); i++) {
        ret = max(ret, prices[i] - min_);
        min_ = min(min_, prices[i]);
    }
    return ret;
}

题二：

只要是后一个数比前一个大，都增。

int maxProfit(vector<int>& prices) {
    if (prices.size() < )
        return ;

    int ret = ;
    for (int i = ; i < prices.size() - ; i++) {
        ret += max(prices[i + ] - prices[i], );
    }
    return ret;
}

题三：

可进行两次操作。

其中一个思路，可以关注分界点，可以枚举分界点，求左右两边的最优操作，在LeetCode会超时，显然，复杂度n^2。

思考下优化，我们可以计算每个点的最大值，左边不用重复计算，每次分界点往左移，都像题一那样计算最大值即可；

　　　　　　而右边，其实可以反向计算一遍，但是，右边改成求最小值。

　　　　　　最后加起来即可。

int maxProfit(vector<int>& prices) {
    int size = prices.size();
    if (size < )
        return ;
    int* left = new int[size]{};
    int* right = new int[size]{};
    int ret = ;

    int lmin = prices[];
    int lmax = ;
    for (int i = ; i < size; i++) {
        lmax = max(lmax, prices[i] - lmin);
        left[i] = lmax;
        lmin = min(lmin, prices[i]);
    }

    int rmin = ;
    int rmax = prices[size - ];
    for (int i = size - ; i >= ; i--) {
        rmin = min(rmin, prices[i] - rmax);
        right[i] = -rmin;
        rmax = max(rmax, prices[i]);
    }

    for (int i = ; i < size - ; i++) {
        ret = max(ret, left[i] + right[i + ]);
    }
    return max(ret, left[size - ]);
}

思路二：

int maxProfit(vector<int>& prices) {

    int n = prices.size();
    if(n==) return ;
    int sell1 = , sell2 = , buy1 = INT_MIN, buy2 = INT_MIN;

    for(int i =; i<n; i++)
    {
        buy1 = max(buy1, -prices[i]);
        sell1 = max(sell1, prices[i]+buy1);
        buy2 = max(buy2, sell1-prices[i]);
        sell2 = max(sell2, prices[i]+buy2);
    }
    return sell2;
}

题四：

动态规划：

其中diff表示今天和昨天的差。

global[i][j] = max(local[i][j], global[i-1][j])

local[i][j] = max(global[i-1][j-1] + max(diff,0), local[i-1][j] + diff)

local[i][j]表示最后一次卖出在今天的最大利益，局部最优。

global[i][j]表示全局最优。

第一条式子：要么在今天卖出最优，要么前一天的全局最优。

第二条式子：前者为之前的全局最优加上最后一次交易在今天。

　　　　　　　　注意diff，我们要的是不大于j的交易次数；

　　　　　　　　如果i - 1天还持有，则i天卖出，共j - 1次操作；如果i-1天不持有，则i - 1天买入，i天卖出，共j次操作。

　　　　　　后者为i - 1天卖出加上今天diff，表示i - 1天还持有，加上今天的。

int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
    if (prices.size() < ) return ;  

    int days = prices.size();
    if (k >= days) return maxProfit2(prices);

    auto local = vector<vector<int> >(days, vector<int>(k + ));
    auto global = vector<vector<int> >(days, vector<int>(k + ));

    for (int i = ; i < days ; i++) {
        int diff = prices[i] - prices[i - ];  

        for (int j = ; j <= k; j++) {
            local[i][j] = max(global[i - ][j - ], local[i - ][j] + diff);
            global[i][j] = max(global[i - ][j], local[i][j]);
         }
    }  

    return global[days - ][k];
}  

int maxProfit2(vector<int>& prices) {
    int maxProfit = ;  

    for (int i = ; i < prices.size(); i++) {
        if (prices[i] > prices[i - ]) {
            maxProfit += prices[i] - prices[i - ];
        }
    }  

    return maxProfit;
} 

类似题三的做法：

int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {

    int n = prices.size();

    if(k>n/)
    {
        int buy = INT_MIN, sell = ;
        for(int i=; i<n; i++)
        {
            buy = max(buy, sell-prices[i]);
            sell = max(sell, buy+prices[i]);
        }
        return sell;
    }

    vector<int> sell(k+, );
    vector<int> buy(k+, );

    for(int i=; i<=k; i++) buy[i] = INT_MIN;

    for(int i=; i<n; i++)
    {
        for(int j=; j<k+; j++)
        {

            buy[j] = max(buy[j], sell[j-]-prices[i]);
            sell[j] = max(sell[j], buy[j]+prices[i]);

        }
    }
    return sell[k];
}