[CSP-S模拟测试]:123567（莫比乌斯函数+杜教筛+数论分块）

题目传送门（内部题92）

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输入格式

　　一个整数$n$。

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输出格式

　　一个答案$ans$。

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样例

样例输入：

13

样例输出：

9

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数据范围与提示

　　对于$20\%$的数据，$n\leqslant 10^6$。
　　对于$40\%$的数据，$n\leqslant 10^{12}$。
　　对于$100\%$的数据，$0\leqslant n\leqslant 10^{18}$。

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题解

这道题里的小$\mu$其实就提示我们了$\mu$，也就是莫比乌斯函数。

那么，我们可以列出式子：

$$ans=\sum \limits_{i=1}^\sqrt{n}\mu(i)\left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor$$

但是这个式子还是不足矣$AC$，考虑优化。

先考虑对于一段内的$\left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor$是相等的，想到数论分块，对于一个区间$[l,r]$，满足$\left\lfloor\frac{n}{l^2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{r^2}\right\rfloor$，那么现在就需要想办法快速求出每一段的$\sum \limits_{i=l}^r\mu(i)$。

很快想到杜教筛，然后这道题就没了……

时间复杂度：$\Theta(n^{\frac{2}{5}})$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<int,int>mp;
long long n;
long long ans;
bool vis[30000001];
int prime[30000001],mu[30000001],cnt;
void pre_work()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=30000000;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[cnt++]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=30000000;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else{mu[i*prime[j]]=0;break;}
		}
	}
}
int get(int x)
{
	if(x<=30000000)return mu[x];
	if(mp[x])return mp[x];
	int res=1;
	for(int i=2,j;i<=x;i=j+1)
	{
		j=x/(x/i);
		res-=get(x/i)*(j-i+1);
	}
	return mp[x]=res;
}
int main()
{
	pre_work();scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=30000000;i++)mu[i]+=mu[i-1];
	for(long long i=1,j;i*i<=n;i=j+1)
	{
		j=sqrt(n/(n/(i*i)));
		ans+=(n/(i*i))*(get(j)-get(i-1));
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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rp++