【LuoguP5383】[模板]普通多项式转下降幂多项式

传送门

Sol

(怎么老是有人喜欢出新的多项式毒瘤板子,懒得整到一起了)

核心就是把 幂用下降幂来代替。

使用斯特林数展开幂为下降幂:

\[x^n=\sum_{i=0}^n{x\choose i}i!S(n,i)=\sum_{i=0}^nS(n,i)x^{\underline i}
\]

那么要求的多项式:

\[\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\sum_{j=0}^jS(i,j)x^{\underline j}
\]

交换求和顺序:

\[\sum_{j=0}^{n-1}x^{\underline j}\sum_{i=j}^{n-1} a_iS(i,j)
\]

那么求出后面那个东西就行了。由于当 \(i<j\)时 \(S(i,j)=0\),所以 \(i\) 可以从 \(0\) 开始枚举。这个就是一个要求一列的斯特林数的模型。

把斯特林数拆开:

\[\sum_{i=0}^{n-1}\frac{a_i}{j!}\sum_{k=0}^j (-1)^{j-k}{j\choose k}k^i
\]

组合数拆开形成卷积:

\[\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!}*\sum_{i=0}^{n-1}\frac{a_ik^i}{k!}
\]

令 \(f_k=\frac{(-1)^k}{k!},g_k=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{a_ik^i}{k!}\) ,那么对 \(F(x)\)与\(G(x)\)做卷积即可。

求 \(G(x)\) 需要多项式多点求值。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Clear(a,_begin_,_end_) for(int i=_begin_;i<_end_;++i) a[i]=0
#define Input_Array(a,_begin_,_end_) for(int i=_begin_;i<_end_;++i) init(a[i])
#define __ NULL
using namespace std;
const int N=1e5+10,MAXN=N<<2,MAXM=5e6;
typedef vector<int> Poly;
template <typename T> inline void init(T&x){
	x=0;char ch=getchar();bool t=0;
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
	if(t) x=-x;return;
}typedef double db;
typedef long long ll;
int Inv[MAXN],rader[MAXN];
const int mod=998244353,phi=998244352,SIZE=sizeof(rader),inv2=499122177;
template<typename T>inline void Inc(T&x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return;}
template<typename T>inline void Dec(T&x,int y){x-=y;if(x <	0) x+=mod;return;}
template<typename T>inline int fpow(int x,T k){int ret=1;for(;k;k>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(k&1) ret=(ll)ret*x%mod;return ret;}
inline int Sum(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) return x-mod;return x;}
inline int Dif(int x,int y){x-=y;if(x < 0 ) return x+mod;return x;}
inline int Init(int n){int len=1,up=-1;while(len<=n) len<<=1,++up;for(int i=0;i<len;++i) rader[i]=(rader[i>>1]>>1)|((i&1)<<up);return len;}
inline void Calc_Inversion(){Inv[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;++i) Inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*Inv[mod%i]%mod;return;}
namespace NTT{
	int wn[30],iwn[30];
	inline void Calcw(){for(int i=0;i<30;++i) wn[i]=fpow(3,phi/(1<<i)),iwn[i]=fpow(wn[i],mod-2);}
	inline void NTT(int*A,int n,int f){
		for(int i=0;i<n;++i) if(rader[i]>i) swap(A[i],A[rader[i]]);
		for(int i=1,h=1;i<n;++h,i<<=1){
			int W=(~f)? wn[h]:iwn[h];
			for(int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p){
				for(int w=1,k=0;k<i;++k,w=(ll)w*W%mod){
					int X=A[j|k],Y=(ll)w*A[j|k|i]%mod;
					A[j|k]=Sum(X,Y),A[j|k|i]=Dif(X,Y);
				}
			}
		}if(!~f) for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*Inv[n]%mod;
		return;
	}
	inline void Mul(int*a,int*b,int*c,int n,int m) {
		int L=n+m-1;int len=Init(L);static int A[MAXN],B[MAXN];
		for(int i=0;i<n;++i) A[i]=a[i];for(int i=0;i<m;++i) B[i]=b[i];
		Clear(A,n,len);Clear(B,m,len);NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) c[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
		NTT(c,len,-1);return;
	}
	inline void Poly_Inv(int*F,int*I,int n){
		if(n==1) {memset(I,0,SIZE);I[0]=fpow(F[0],mod-2);return;}
		Poly_Inv(F,I,(n+1)>>1);int L=n<<1,len=Init(L);
		static int A[MAXN];for(int i=0;i<n;++i) A[i]=F[i];Clear(A,n,len);
		NTT(I,len,1);NTT(A,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) I[i]=Dif(Sum(I[i],I[i]),(ll)I[i]*I[i]%mod*A[i]%mod);
		NTT(I,len,-1);Clear(I,n,len);return;
	}
	inline void Poly_Mod(int*A,int*B,int*Q,int*R,int n,int m){
		if(n<m) {for(int i=0;i<=n;++i) R[i]=A[i];return;}
		static int C[MAXN],D[MAXN],E[MAXN];
		const int r=(n-m)<<1;int len=1;while(len<=r)len<<=1;
		for(int i=0;i<=n-m;++i) D[i]=A[n-i];Clear(D,n-m+1,len);
		for(int i=0;i<=m;++i)   E[i]=B[m-i];Clear(E,m+1,len);
		Poly_Inv(E,C,n-m+1);len=Init(r);NTT(C,len,1),NTT(D,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) C[i]=(ll)C[i]*D[i]%mod;
		NTT(C,len,-1);reverse(E,E+1+m),reverse(C,C+1+n-m);
		if(Q) for(int i=0;i<=n-m;++i) Q[i]=C[i];
		len=Init(n);Clear(C,n-m+1,len);Clear(E,m+1,len);
		NTT(C,len,1),NTT(E,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) C[i]=(ll)C[i]*E[i]%mod;
		NTT(C,len,-1);for(int i=0;i<m;++i) R[i]=Dif(A[i],C[i]);
		return;
	}
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
	int POOL[MAXM],cnt=0;
	int *P[MAXN],*F[MAXN],*G[MAXN],X[N],*val;
	inline int* Neospace(int len){int*ret=&POOL[cnt];cnt+=len;return ret;}
	inline int Calc(int*F,int n,const int x){int X=1,ret=0;for(int i=0;i<n;++i) Inc(ret,(ll)F[i]*X%mod),X=(ll)X*x%mod;return ret;}
	inline void Divide(int u,int l,int r){P[u]=NULL;//分治+NTT , 保留了中间的结果
		if(l==r) {P[u]=Neospace(2);P[u][0]=mod-X[l];P[u][1]=1;return;}
		static int L[MAXN],R[MAXN];int mid=(l+r)>>1;int LS=ls,RS=rs;
		Divide(LS,l,mid);Divide(RS,mid+1,r);
		int n=r-l+2,nl=mid-l+2,nr=r-mid+1;
		for(int i=0;i<nl;++i) L[i]=P[LS][i];
		for(int i=0;i<nr;++i) R[i]=P[RS][i];
		Mul(L,R,L,nl,nr);P[u]=Neospace(n);
		for(int i=0;i<n;++i) P[u][i]=L[i];
		return;
	}
	inline void Poly_Evaluate(int u,int l,int r){// 多点求值
		if(r-l+1<=500) {for(int i=l;i<=r;++i) val[i]=Calc(F[u],r-l+1,X[i]);return;}// 长度小的暴力计算
		int mid=(l+r)>>1,LS=ls,RS=rs;
		int n=r-l+1,nl=mid-l+1,nr=r-mid;
		static int R[MAXN];
		F[LS]=Neospace(nl),F[RS]=Neospace(nr);
		Poly_Mod(F[u],P[LS],__,R,n-1,nl);
		for(int i=0;i<nl;++i) F[LS][i]=R[i];
		Poly_Mod(F[u],P[RS],__,R,n-1,nr);
		for(int i=0;i<nr;++i) F[RS][i]=R[i];
		Poly_Evaluate(LS,l,mid);
		Poly_Evaluate(RS,mid+1,r);
		return;
	}
	inline void Solve_Evaluation(int*A,int*_X,int*ans,int n,int m){
		cnt=0;F[1]=Neospace(m);val=ans;
		for(int i=1;i<=m;++i) X[i]=_X[i];Divide(1,1,m);
		Poly_Mod(A,P[1],__,F[1],n-1,m);//注意最开始的多项式也要取一次模
		Poly_Evaluate(1,1,m);return;
	}
}
int fac[N],finv[N];
int main()
{
	Calc_Inversion();NTT::Calcw();
	int n;fac[0]=finv[0]=1;init(n);
	for(int i=1;i<n;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod,finv[i]=(ll)finv[i-1]*Inv[i]%mod;
	static int F[MAXN],A[MAXN],X[MAXN];
	for(int i=0;i<n;++i) init(A[i]),X[i+1]=i,F[i]=(i&1)? (mod-finv[i]):finv[i];
	NTT::Solve_Evaluation(A,X,X,n,n);
	for(int i=0;i<n;++i) X[i]=(ll)X[i+1]*finv[i]%mod;X[n]=0;
	NTT::Mul(X,F,F,n,n);
	for(int i=0;i<n;++i) printf("%d ",F[i]);putchar('\n');
	return 0;
}