Note -「矩阵树定理」学习笔记

  大概……会很简洁吧 qwq。

矩阵树定理

  对于无自环无向图 \(G=(V,E)\)，令其度数矩阵 \(D\)，邻接矩阵 \(A\)，令该图的 \(\text{Kirchhoff}\) 矩阵 \(K=D-A\)。取其任意一个 \(n-1\) 阶主子式 \(K'\)，则 \(G\) 的生成树个数 \(s=\det K'\)。

  证明先咕掉 qwq。

一些推广

  对于有向图以 \(r\) 为根的内向生成树，取 \(D\) 为初度矩阵，取主子式时删去 \(r\) 行 \(r\) 列，再求行列式即可。

  外向生成树则相反。

  呃……真的好简洁。例题看标签里吧。