「BZOJ 2956」模积和

「BZOJ 2956」模积和

令 \(l=\min(n,m)\)。这个 \(i\neq j\) 非常不优雅，所以我们考虑分开计算，即：

\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1,i\neq j}^{m}(n \bmod i)(m\bmod j)\\
=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(n \bmod i)(m\bmod j)-\sum_{i=1}^{\texttt{l}}(n \bmod i)(m\bmod i)\\

\end{aligned}
\]

对于前半部分有：

\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(n \bmod i)(m\bmod j)\\
=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(n -\lfloor \frac n i \rfloor*i)(m -\lfloor \frac m j \rfloor*j)\\
=&\sum_{i=1}^{n}(n -\lfloor \frac n i \rfloor*i)\sum_{j=1}^{m}(m -\lfloor \frac m j \rfloor*j)\\
=&(n^2-\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac n i \rfloor*i)(m^2-\sum_{j=1}^{m}\lfloor \frac m j \rfloor*j)\\
\end{aligned}
\]

两次整除分块计算即可。

对于后半部分有：

\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{l}(n \bmod i)(m\bmod i)\\
=&\sum_{i=1}^{l}(n -\lfloor \frac n i \rfloor*i)(m -\lfloor \frac m i \rfloor*i)\\
=& lnm-n\sum_{i=1}^{l}\lfloor \frac m i \rfloor*i-m\sum_{i=1}^{l}\lfloor \frac n i \rfloor*i+\sum_{i=1}^{l}i^2\lfloor \frac n i \rfloor\lfloor \frac m i \rfloor
\end{aligned}
\]

根据我们小学二年级就学过的知识可以知道序列 \(1^2,2^2,...,n^2\) 的前缀和为 \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。

故对于后面三个部分每个部分做一次整除分块即可。

除以 \(6\) 可能需要分开除，否则可能会爆。

贴个真的很丑的代码：

/*---Author:HenryHuang---*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=19940417;
ll sum(ll n){
	ll a=n,b=n+1,c=2*n+1;
	if(a%2==0) a/=2;
	else b/=2;
	if(a%3==0) a/=3;
	else if(b%3==0) b/=3;
	else c/=3;
	return a*b%p*c%p;
}
ll gt(ll n,ll k){
	ll ans=0;
	ll l,r;
	for(l=1;l<=n;l=r+1){
		if(l<=k) r=min(n,k/(k/l));
		else r=n;
		ans+=(k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;
	}
	return ans%p;
}
ll solve(ll lim,ll n,ll m){
	ll ans=0;
	ll l,r;
	for(l=1;l<=lim;l=r+1){
		if(l<=lim) r=min(lim,min(n/(n/l),m/(m/l)));
		else r=lim;
		(ans+=(n/l)*(m/l)%p*(sum(r)-sum(l-1)+p)%p)%p;
	}
	return ans%p;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	ll n,m;cin>>n>>m;
	ll lim=min(n,m);
	ll Ans=(n*n%p-gt(n,n)+p)%p*(m*m%p-gt(m,m)+p)%p;
	Ans-=lim*n%p*m%p;
	Ans=(Ans+p)%p;
	(Ans+=n*gt(lim,m)%p)%=p;
	(Ans+=m*gt(lim,n)%p)%=p;
	cout<<(Ans-solve(lim,n,m)+p)%p<<'\n';
	return 0;
}