最值反演 min-max容斥
说实话这些博客早晚都要整理后上m***999。
最值反演是针对一个集合中最大/最小值的反演。
\[
\max\{S\}=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\}
\]
\[
\min\{S\}=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\max\{T\}
\]
如{1,2,3,4}的最大值=1+2+3+4-1-1-1-2-2-3+1+1+1+2-1=4。
求LCM
将每个数\(a_i\)分解为\(\prod_{p_j=prime[i][]} p_j^{k_j}\)。则LCM就是求每个质因数中指数的最大值之积,而GCD是每个质因数中的指数的最小值之积。因此由最值反演可得
\[
\rm{lcm}\{S\}=\prod_{T\subset S}(\gcd\{T\})^{(-1)^{|T|+1}}
\]
求期望
对原式套一个期望,就有该式子的期望形式:
\[
\mathbb{E}[\max\{S\}]=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\mathbb{E}[\min\{T\}]
\]
例题
给定集合\(S\)中每个元素出现的概率\(p_i\),其和为\(1\),每次会按概率出现一个元素。求每个元素都至少出现一次的期望次数。
可用状压DP解决,复杂度\(O(2^n\cdot n)\)。
考虑定义集合\(T\)中元素的比较运算为最早出现时间更早。则\(\mathbb{E}[\min\{T\}]\)的意义为\(T\)中出现任意一个元素的期望次数。因为每次只能出现一个数,出现任意一个数的概率显然就是集合中所有概率的和。因此这个期望等于\(\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i}\)。最后答案即为\(\mathbb{E}[\max\{S\}]\),用上面的反演即可,时间复杂度为\(O(2^n)\)。
给定集合\(S\)中每个元素每次出现的概率\(p_i\),元素互相独立。求每个元素都至少出现一次的期望次数。
此时\(T\)中出现任意一个元素的概率是\(1\)减去所有元素都不出现的概率。
最值反演 min-max容斥的更多相关文章
- Coprime (单色三角形+莫比乌斯反演(数论容斥))
这道题,先说一下单色三角形吧,推荐一篇noip的论文<国家集训队2003论文集许智磊> 链接:https://wenku.baidu.com/view/e87725c52cc58bd631 ...
- BZOJ2301:莫比乌斯反演+二维容斥解决GCD范围计数
这个题是刚才刷的第一道反演题的拓展版,加上一个容斥就可以了 #include<cstdio> #include<algorithm> using std::min; ; int ...
- 【容斥原理,莫比乌斯反演】用容斥替代莫比乌斯反演第二种形式解决gcd统计问题
名字虽然很长.但是其实很简单,对于这一类问题基本上就是看你能不能把统计的公式搞出来(这时候需要一个会推公式的队友) 来源于某次cf的一道题,盼望上紫的我让潘学姐帮我代打一道题,她看了看跟我说了题解,用 ...
- LOJ #2542. 「PKUWC 2018」随机游走(最值反演 + 树上期望dp + FMT)
写在这道题前面 : 网上的一些题解都不讲那个系数是怎么推得真的不良心 TAT (不是每个人都有那么厉害啊 , 我好菜啊) 而且 LOJ 过的代码千篇一律 ... 那个系数根本看不出来是什么啊 TAT ...
- min-max 容斥
$\min - \max$ 容斥 Part 1 对于简单的$\min - \max$容斥有一般形式,表达为:$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1 ...
- Min-max 容斥与 kth 容斥
期望的线性性: \[E(x+y)=E(x)+E(y) \] 证明: \[E(x+y)=\sum_i \sum_j(i+j)*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_i\sum_ji*P(i=x,j ...
- [HDU4336]Card Collector(min-max容斥,最值反演)
Card Collector Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)To ...
- CF285 E Positions in Permutations——“恰好->大于”的容斥和允许“随意放”的dp
题目:http://codeforces.com/contest/285/problem/E 是2018.7.31的一场考试的题,当时没做出来. 题解:http://www.cnblogs.com/y ...
- min-max容斥/最值反演及其推广
设\(S\)是一个集合,\(\max(S)\)和\(\min(S)\)分别表示集合中的最大值与最小值. 那么有如下式子成立: \[\max(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{| ...
随机推荐
- 自动化测试基础篇--Selenium Xpath定位
摘自https://www.cnblogs.com/sanzangTst/p/7458056.html 学习 什么是xpath? XPath即为XML路径语言,它是一种用来确定XML(标准通用标记语言 ...
- Q2Day81
性能相关 在编写爬虫时,性能的消耗主要在IO请求中,当单进程单线程模式下请求URL时必然会引起等待,从而使得请求整体变慢. import requests def fetch_async(url): ...
- python根据关键字以及id值爬取图虫网上高质量大图
import requests import re import os import time print("ready....") def downPic(dirs, keywo ...
- JavaScript获取IE版本号与HTML设置ie文档模式
JavaScript获取IE版本代码: var gIE = getIE(); alert(gIE.version) function getIE() { var rmsie = /(msie) ([\ ...
- vs2010 2013 2015 有用各种功能插件
https://blog.csdn.net/daydayup_chf/article/details/80803221
- php防范
针对 PHP 的网站主要存在下面几种攻击方式: 1.命令注入(Command Injection) 2.eval 注入(Eval Injection) 3.客户端脚本攻击(Script Inserti ...
- MySql 中文写入数据库乱码及Incorrect string value: '\xF0\x9F...' for column 'XXX' at row 1解决
一.中文写入乱码问题 我输入的中文编码是 urf8 的,建的库是 urf8 的,但是插入MySQL总是乱码,一堆"???????????????????????".可以使用以下的方 ...
- 【项目 · Wonderland】立项报告
[软件工程实践 · 团队项目] 第二次作业 团 队 作 业 原 文:http://www.cnblogs.com/andwho/p/7598662.html Part 0 · 简 要 目 录 Part ...
- 《生命》第三集:Mammals (哺乳动物)
南极零下四十度的情况下,威德尔海豹能深潜到冰下捕食,并且教自己的小宝宝如何下水,看了这个才知道,海豹居然是哺乳动物,小海豹看着挺萌的. 长鼻鼩是一种很活跃的生物,而且会自己设计路线,建立迷宫,帮助自己 ...
- maven中可以直接引用的java系统属性和环境变量属性
一.查看命令: 1 mvn help :system 二.引用 在pom文件中通过 ${变量名}来引用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ...