最值反演 min-max容斥

说实话这些博客早晚都要整理后上ｍ＊＊＊９９９。

最值反演是针对一个集合中最大/最小值的反演。
\[
\max\{S\}=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\}
\]
\[
\min\{S\}=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\max\{T\}
\]

如{1,2,3,4}的最大值=1+2+3+4-1-1-1-2-2-3+1+1+1+2-1=4。

求LCM

将每个数\(a_i\)分解为\(\prod_{p_j=prime[i][]} p_j^{k_j}​\)。则LCM就是求每个质因数中指数的最大值之积，而GCD是每个质因数中的指数的最小值之积。因此由最值反演可得
\[
\rm{lcm}\{S\}=\prod_{T\subset S}(\gcd\{T\})^{(-1)^{|T|+1}}
\]

求期望

对原式套一个期望，就有该式子的期望形式：
\[
\mathbb{E}[\max\{S\}]=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\mathbb{E}[\min\{T\}]
\]

例题

给定集合\(S\)中每个元素出现的概率\(p_i\)，其和为\(1\)，每次会按概率出现一个元素。求每个元素都至少出现一次的期望次数。

可用状压DP解决，复杂度\(O(2^n\cdot n)\)。

考虑定义集合\(T\)中元素的比较运算为最早出现时间更早。则\(\mathbb{E}[\min\{T\}]\)的意义为\(T\)中出现任意一个元素的期望次数。因为每次只能出现一个数，出现任意一个数的概率显然就是集合中所有概率的和。因此这个期望等于\(\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i}\)。最后答案即为\(\mathbb{E}[\max\{S\}]\)，用上面的反演即可，时间复杂度为\(O(2^n)\)。

给定集合\(S\)中每个元素每次出现的概率\(p_i\)，元素互相独立。求每个元素都至少出现一次的期望次数。

此时\(T\)中出现任意一个元素的概率是\(1\)减去所有元素都不出现的概率。