luogu P3236 [HNOI2014]画框

传送门

我们把一种方案的\(\sum a_{i,j}\)和\(\sum b_{i,j}\)看成点\((\sum a_{i,j},\sum b_{i,j})\),那么就只要求横纵坐标之积最小的点,类似于最小乘积生成树

首先跑出\(\sum a_{i,j}\)最小和\(\sum b_{i,j}\)最小的,得到的点记为\(A\)和\(B\),然后求一个在\(AB\)左侧,距离\(AB\)最远的点\(C\).这就相当于要最大化\(S_{\triangle ABC}=|\frac{\vec{AB}\times\vec{AC}}{2}|\),因为\(C\)在\(AB\)左侧,所以是要最小化

\[\begin{matrix}\vec{AB}\times\vec{AC} &= (x_B-x_A)*(y_C-y_A)-(y_B-y_A)*(x_C-x_A)\\ &= (x_B-x_A)*y_C+(y_A-y_B)*x_C+S\end{matrix}
\]

\((S为常数项)\)

所以把\((x_B-x_A)*b_{i,j}+(y_A-y_B)*a_{i,j}\)设为边权,跑KM就好了,如果找到这样的点就继续递归处理\(AC\)和\(CB\),注意如果叉积\(\ge 0\),那么不在左侧,退出

话说二分图最小权匹配只要边权取反就好了,我沙雕还把其他地方跟着改了,WA的捕星

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define db double
#define il inline
#define re register

using namespace std;
const int N=75;
il int rd()
{
    int x=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
int n,a[N][N],b[N][N],mat[N],va[N],vb[N],e[N][N],sl[N],pr[N];
bool v[N];
void xyl(int xx)
{
    memset(sl,0x3f3f3f,sizeof(sl));
    memset(v,0,sizeof(v));
    memset(pr,0,sizeof(pr));
    int p=0;
    mat[p]=xx;
    do
    {
        int x=mat[p],mi=sl[0],nxt;
        v[p]=1;
        for(int y=1;y<=n;++y)
            if(!v[y])
            {
                if(sl[y]>va[x]+vb[y]-e[x][y]) sl[y]=va[x]+vb[y]-e[x][y],pr[y]=p;
                if(mi>sl[y]) mi=sl[y],nxt=y;
            }
        for(int i=0;i<=n;++i)
        {
            if(v[i]) va[mat[i]]-=mi,vb[i]+=mi;
            else sl[i]-=mi;
        }
        p=nxt;
    }while(mat[p]);
    while(p) mat[p]=mat[pr[p]],p=pr[p];
}
int ans;
void dc(int ax,int ay,int bx,int by)
{
    if(ay<by||(ay==by&&ax>bx)) swap(ax,bx),swap(ay,by);
    int cx=0,cy=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        va[i]=vb[i]=0;
        for(int j=1;j<=n;++j)
            va[i]=max(va[i],e[i][j]=-((bx-ax)*b[i][j]+(ay-by)*a[i][j]));
    }
    memset(mat,0,sizeof(mat));
    for(int i=1;i<=n;++i) xyl(i);
    for(int j=1;j<=n;++j) cx+=a[mat[j]][j],cy+=b[mat[j]][j];
    ans=min(ans,cx*cy);
    if((bx-ax)*(cy-ay)-(by-ay)*(cx-ax)<0) dc(ax,ay,cx,cy),dc(cx,cy,bx,by);
}

int main()
{
    int T=rd();
    while(T--)
    {
        n=rd();
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                a[i][j]=rd();
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                b[i][j]=rd();
        int ax=0,ay=0,bx=0,by=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            va[i]=vb[i]=0;
            for(int j=1;j<=n;++j)
                va[i]=max(va[i],e[i][j]=-a[i][j]);
        }
        memset(mat,0,sizeof(mat));
        for(int i=1;i<=n;++i) xyl(i);
        for(int j=1;j<=n;++j) ax+=a[mat[j]][j],ay+=b[mat[j]][j];
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            va[i]=vb[i]=0;
            for(int j=1;j<=n;++j)
                va[i]=max(va[i],e[i][j]=-b[i][j]);
        }
        memset(mat,0,sizeof(mat));
        for(int i=1;i<=n;++i) xyl(i);
        for(int j=1;j<=n;++j) bx+=a[mat[j]][j],by+=b[mat[j]][j];
        ans=min(ax*ay,bx*by);
        dc(ax,ay,bx,by);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}