[LOJ3053]希望

对于一组$s_{1\cdots k}$，合法的$u$构成一个连通块，满足$\left\lvert V\right\rvert-\left\lvert E\right\rvert=1$

考虑算出算$f_{x,i}$表示$x$子树内与$x$距离$\leq i$的点构成含$x$连通块的方案数，类似定义$g$表示子树外

那么答案就是$\sum\limits_{i=1}^n\left(f_{i,L}g_{i,L}\right)^k-\sum\limits_{fa_y=x}\left(f_{y,L-1}\left(g_{y,L}-1\right)\right)^k$

$f_{x,i}=\prod\limits_{fa_y=x}\left(f_{y,i-1}+1\right)$

$g_{y,i}=1+g_{x,i-1}\prod\limits_{\substack{fa_z=y\\y\neq z}}\left(f_{z,i-2}+1\right)$

自底向上转移$f$，自顶向下转移$g$，我们得到一个$O\left(nL\right)$的暴力

设$md_x$表示以$x$为根的子树的最大深度，那么对于$i\geq md_x$有$f_{x,i}=f_{x,md_x}$，只需求出$g_{x,0\cdots md_x}$

对于$g$，因为最后我们需要$g_{x,L}$，所以只需求出$g_{x,L-md_x\cdots L}$

两部分要求的数量都是$md_x$，考虑用长链剖分优化

对于$f$和$g$的重边转移，都是重边$O(1)$，轻边暴力转移

对于$g$的轻边转移，我们需要$f$的前后缀信息

首先转移时只有后缀乘和全局加，维护一个全局$ax+b$的标记，后缀乘$v$时先把前缀乘上$v^{-1}$，然后再全局乘，对于$v=0$，再维护一个后缀赋值标记即可，显然任意时刻只会存在一个赋值标记

对于前后缀信息，因为我们在转移$f$时本质就是在求前缀，所以把整个数据结构可回退化即可

在求$g$时逆序访问所有节点（相对于求$f$时的顺序），回退的同时维护后缀信息即可

一个小问题是求逆，但要求逆的只有$f_{x,md_x}$，所以一开始$O(n)$DP求出所有$f_{x,md_x}$再$O\left(n+\log p\right)$求出所有数的逆就可以把总时间复杂度降到线性了

好像并没有想象中的那么毒瘤...

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
const int mod=998244353,inf=2147483647;
int mul(int a,int b){return(ll)a*b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+=b)>=mod?a-mod:a;}
void inc(int&a,int b){(a+=b)>=mod?a-=mod:0;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
const int N=1e6+10;
int n,L;
int h[N],nex[N*2],to[N*2],M;
void add(int a,int b){
	M++;
	to[M]=b;
	nex[M]=h[a];
	h[a]=M;
}
int md[N],son[N];
vi e[N];
int fL[N];
void dfs(int fa,int x){
	int i,k,mx;
	k=0;
	mx=0;
	fL[x]=1;
	for(i=h[x];i;i=nex[i]){
		if(to[i]!=fa){
			dfs(x,to[i]);
			fL[x]=mul(fL[x],fL[to[i]]+1);
			if(md[to[i]]+1>mx){
				mx=md[to[i]]+1;
				k=to[i];
			}
		}
	}
	son[x]=k;
	md[x]=mx;
	for(i=h[x];i;i=nex[i]){
		if(to[i]!=fa&&to[i]!=son[x])e[x].push_back(to[i]);
	}
}
int pos[N];
void dfs(int x){
	pos[x]=++M;
	if(son[x])dfs(son[x]);
	for(int y:e[x])dfs(y);
}
struct op{
	int t,*p,v;
}st[N*12];
int tp;
bool flag;
void sgn(int&x,int v){
	if(flag)st[++tp]={M,&x,x};
	x=v;
}
void back(){
	*st[tp].p=st[tp].v;
	tp--;
}
struct arr{
	int*f,n,a,ia,b,ti,tv;
	int get(int x){
		return ad(mul(a,x<ti?f[min(x,n)]:tv),b);
	}
	void mult(int x,int v){
		if(x<0||x>n)return;
		sgn(f[x],mul(mul(v,mul(a,f[x])+b)+mod-b,ia));
	}
	void set(int x){
		if(x<=n){
			sgn(ti,x);
			sgn(tv,mul(mod-b,ia));
		}
	}
	void set(int x,int v){
		if(x<0||x>n)return;
		f[x]=mul(v+mod-b,ia);
	}
}f[N],g[N],tmp;
int pf[N];
int rf[N];
int f1[N],f2[N];
int tm[N];
void dfs1(int x){
	if(son[x]){
		dfs1(son[x]);
		f[x]=f[son[x]];
		f[x].f--;
		if(f[x].ti!=inf)f[x].ti++;
		f[x].n++;
	}else
		f[x]={pf+pos[x],0,1,1,0,inf,0};
	inc(f[x].b,1);
	f[x].set(0,1);
	int i,t;
	for(int y:e[x])dfs1(y);
	for(int y:e[x]){
		tm[y]=++M;
		for(i=0;i<=md[y];i++)f[x].mult(i+1,f[y].get(i)+1);
		t=ad(fL[y],1);
		if(t){
			for(i=0;i<=md[y]+1;i++)f[x].mult(i,rf[y]);
			f[x].a=mul(f[x].a,t);
			f[x].ia=mul(f[x].ia,rf[y]);
			f[x].b=mul(f[x].b,t);
		}else
			f[x].set(md[y]+2);
	}
	f1[x]=f[x].get(L);
	f2[x]=f[x].get(L-1);
}
int pg[N],pt[N];
int gL[N];
void dfs2(int x){
	int i,j,n,t;
	reverse(e[x].begin(),e[x].end());
	n=0;
	for(int y:e[x])n=max(n,md[y]);
	memset(pt,0,(n+1)<<2);
	tmp={pt,n,1,1,1,inf,0};
	for(int y:e[x]){
		t=ad(fL[y],1);
		if(t){
			f[x].a=mul(f[x].a,rf[y]);
			f[x].ia=mul(f[x].ia,t);
			f[x].b=mul(f[x].b,rf[y]);
		}
		while(st[tp].t==tm[y])back();
		g[y]={pg+pos[y],md[y],1,1,0,inf,0};
		for(i=0;i<=md[y];i++){
			j=i-md[y]+L;
			if(j<2){
				if(j==1)g[y].f[i]=1;
				continue;
			}
			g[y].f[i]=mul(g[x].get(j-1+md[x]-L),mul(f[x].get(j-1),tmp.get(j-2)));
		}
		inc(g[y].b,1);
		for(i=0;i<=md[y];i++)tmp.mult(i,f[y].get(i)+1);
		if(t){
			for(i=0;i<=md[y];i++)tmp.mult(i,rf[y]);
			tmp.a=mul(tmp.a,t);
			tmp.ia=mul(tmp.ia,rf[y]);
			tmp.b=mul(tmp.b,t);
		}else
			tmp.set(md[y]+1);
	}
	gL[x]=g[x].get(md[x]);
	if(son[x]){
		g[son[x]]=g[x];
		g[son[x]].n--;
		for(int y:e[x]){
			for(i=0;i<=md[y];i++)g[son[x]].mult(i+2+md[son[x]]-L,f[y].get(i)+1);
			j=md[y]+2+md[son[x]]-L;
			if(j<md[son[x]]){
				t=ad(fL[y],1);
				if(t){
					for(i=max(0,md[son[x]]-L);i<=j;i++)g[son[x]].mult(i,rf[y]);
					g[son[x]].a=mul(g[son[x]].a,t);
					g[son[x]].ia=mul(g[son[x]].ia,rf[y]);
					g[son[x]].b=mul(g[son[x]].b,t);
				}else
					g[son[x]].set(j+1);
			}
		}
		inc(g[son[x]].b,1);
		g[son[x]].set(md[son[x]]-L,1);
		g[son[x]].set(md[son[x]]-L+1,2);
	}
	for(int y:e[x])dfs2(y);
	if(son[x])dfs2(son[x]);
}
int a[N],sa[N];
int main(){
	int k,i,x,y,res;
	scanf("%d%d%d",&n,&L,&k);
	if(!L){
		printf("%d",n);
		return 0;
	}
	for(i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	dfs(0,1);
	sa[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		a[i]=ad(fL[i],1);
		if(!a[i])a[i]=1;
		sa[i]=mul(sa[i-1],a[i]);
	}
	rf[n]=pow(sa[n],mod-2);
	for(i=n;i>0;i--)rf[i-1]=mul(rf[i],a[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)rf[i]=mul(rf[i],sa[i-1]);
	M=0;
	dfs(1);
	M=0;
	flag=1;
	dfs1(1);
	g[1]={pg+1,md[1],1,1,1,inf,0};
	flag=0;
	dfs2(1);
	res=0;
	for(i=1;i<=n;i++)inc(res,pow(mul(f1[i],gL[i]),k));
	for(i=2;i<=n;i++)inc(res,mod-pow(mul(f2[i],gL[i]+mod-1),k));
	printf("%d\n",res);
}