Dynamic_Rankings(动态区间第k大)

ZOJ - 2112

\[\
\]

(那些说这道题是树状数组套主席树的人一定对主席树有误解!)

这里我们用树状数组套线段树来解决来写

首先 , 我们需要有n棵线段树(不是\(n^2\)空间,别慌)

我们用这些线段树存储值域$ [l,r] $内数的个数

基于主席树的思想,我们的线段树是要相减的,记录的是前缀

由于要更新前缀,我们必须快速更新,所以采用树状数组来写

事实上,这里线段树的本质并非主席树,而是动态开点的线段树

(这两者是有显著差异的)

这是主席数的单点修改

struct Functional_SegmentTree{
    void Add(int p,int pre,int l,int r,int x,int y){
        s[p]=s[pre]+y;
        if(l==r) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid) rs[p]=rs[pre],Add(ls[p]=++cnt,ls[pre],l,mid,x,y);
        else ls[p]=ls[pre],Add(rs[p]=++cnt,rs[pre],mid+1,r,x,y);
    }
};

是路径上的所有点都要新开节点,而实际上动点线段树不是开新点,只是当你的儿子要访问了却还未开出来时才需要开

所以代码应该是这样的

void Add(int p,int l,int r,int x,int y){
    s[p]+=y;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) Add(ls[p]?ls[p]:(ls[cnt+1]=rs[cnt+1]=s[cnt+1]=0,ls[p]=++cnt),l,mid,x,y);
    else Add(rs[p]?rs[p]:(ls[cnt+1]=rs[cnt+1]=s[cnt+1]=0,rs[p]=++cnt),mid+1,r,x,y);
}

(略有压行)

所以整体上应该是树状数组更新动点线段树

但是由于这题卡空间 (过于罪恶)

所以我们应该先开一个主席树存下原来的值

(为什么这样能省空间呢?因为树状数组更新的空间复杂度是\(log^2(n)\)，主席树更新是log(n)的)

于是代码会长这样

const int N=50100,M=10010,K=1520110;
int n,m;

int ncnt;
int a[N],b[N+M],c[M],d[M],e[M];
int cnt;
int ls[K],rs[K],s[K];
int rt[N];

struct hjt{
    void Add(int p,int pre,int l,int r,int x,int y){
        s[p]=s[pre]+y;
        if(l==r) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid) rs[p]=rs[pre],Add(ls[p]=++cnt,ls[pre],l,mid,x,y);
        else ls[p]=ls[pre],Add(rs[p]=++cnt,rs[pre],mid+1,r,x,y);
    }
}H;
struct sts{
    void Add(int p,int l,int r,int x,int y){
        s[p]+=y;
        if(l==r) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid) Add(ls[p]?ls[p]:(ls[cnt+1]=rs[cnt+1]=s[cnt+1]=0,ls[p]=++cnt),l,mid,x,y);
        else Add(rs[p]?rs[p]:(ls[cnt+1]=rs[cnt+1]=s[cnt+1]=0,rs[p]=++cnt),mid+1,r,x,y);
    }
    int T[N];
    vector <int> X,Y;
    int Que(int l,int r,int k){
        if(l==r) return l;
        int mid=(l+r)>>1;
        int t=0;
        rep(i,0,X.size()-1) t+=s[ls[X[i]]];
        rep(i,0,Y.size()-1) t-=s[ls[Y[i]]];
        if(t>=k) {
            rep(i,0,X.size()-1) X[i]=ls[X[i]];
            rep(i,0,Y.size()-1) Y[i]=ls[Y[i]];
            return Que(l,mid,k);
        } else {
            rep(i,0,X.size()-1) X[i]=rs[X[i]];
            rep(i,0,Y.size()-1) Y[i]=rs[Y[i]];
            return Que(mid+1,r,k-t);
        }
    }
    int query(int l,int r,int k){
        int p=r; X.clear();X.push_back(rt[r]);
        while(p) X.push_back(T[p]),p-=p&-p;
        p=l-1;Y.clear();Y.push_back(rt[l-1]);
        while(p) Y.push_back(T[p]),p-=p&-p;
        return Que(1,ncnt,k);
    }
    void Upd(int p,int x,int y){
        while(p<=n) Add(T[p]?T[p]:(ls[cnt+1]=rs[cnt+1]=s[cnt+1]=0,T[p]=++cnt),1,ncnt,x,y),p+=p&-p;
    }
}S;

char opt[N][1];

int main(){
    rep(kase,1,rd()){
        n=rd(),m=rd();
        cnt=0; memset(S.T,0,sizeof S.T);
        rep(i,1,n) a[i]=b[i]=rd();
        ncnt=n;
        rep(i,1,m) {
            scanf("%s",opt[i]);
            if(opt[i][0]=='Q'){
                c[i]=rd(),d[i]=rd(),e[i]=rd();
            } else {
                c[i]=rd(),d[i]=rd();
                b[++ncnt]=d[i];
            }
        }
        sort(b+1,b+ncnt+1);ncnt=unique(b+1,b+ncnt+1)-b-1;
        rep(i,1,n) {
            a[i]=lower_bound(b+1,b+ncnt+1,a[i])-b;
            H.Add(rt[i]=++cnt,rt[i-1],1,ncnt,a[i],1);
        }
        rep(i,1,m){
            if(opt[i][0]=='Q'){
                int ans=S.query(c[i],d[i],e[i]);
                printf("%d\n",b[ans]);
            }else {
                d[i]=lower_bound(b+1,b+ncnt+1,d[i])-b;
                S.Upd(c[i],a[c[i]],-1);
                S.Upd(c[i],a[c[i]]=d[i],1);
            }
        }
    }
}